| 11652078 12288 3054 948 1между точным и приближённым значениями представляемого этой формулой выражения. В зависимости от характера приближённой формулы О. ч. может иметь различный вид. Обычно задача исследования О. ч. состоит в том, чтобы получить для него оценки. Напр., приближённой формуле
[1847-12.jpg]
соответствует точное равенство
[1847-13.jpg]
где выражение R является _О. ч. для приближения 1,41 к числу корень из 2, и известно, что 0,004 < R < 0,005. Далее, О. ч. постоянно встречается в асимптотич. формулах. Напр., для числа я (х) простых чисел, не превосходящих х, имеем асимптотич. формулу
[1847-14.jpg]
где ц - любое положит, число, меньшее 3/5; здесь О. ч., являющийся разностью между функциями Пи(х) и
[1847-15.jpg]
для х >= 2, записан в виде О [хе-(ln x)n], где буква О обозначает, что О. ч. не превосходит по абс. величине выражения Сxе-(ln x)n, а С - нек-рая положит, постоянная. Можно говорить об О. ч. формулы, дающей приближённое представление функции. Напр., в Тейлора формуле
[1847-16.jpg]
О. ч. Rn (х) в форме Лагранжа имеет вид
[1847-17.jpg]
Можно говорить об О. ч. квадратурной формулы, интерполяционных формул и т. д.
ОСТАШКОВ, город (с 1770) областного подчинения, центр Осташковского р-на Калининской обл. РСФСР. Расположен на п-ове в юж. части оз. Селигер. Пристань. Ж.-д. станция на линии Великие Луки - Бологое, на автодороге в 199 км от Калинина. 25 тыс. жит. (1974). Кож. з-ды, швейная ф-ка, мясокомбинат, пивоваренный з-д; рыбозавод. Механич., финанс., вет. техникумы. Краеведческий музей. Организац. центр массового туризма на оз. Селигер; турбазы. Среди памятников архитектуры: Воскресенская церковь (1689), Троицкий собор (1697), Знаменская церковь (с 1673, перестроена в 1860-х гг.) с отд. чертами "нарышкинского барокко". В 1772 И. Е. Старовым был составлен план О. (осуществлён в кон. 18 - нач. 19 вв.), в связи с к-рым было возведено более 150 "образцовых" классицистич. строений.
ОСТАШКОВСКОЕ ОЛЕДЕНЕНИЕ, поздневалдайское оледенение, последнее оледенение Вост.-Европ. равнины, окончившееся ок. 10 тыс. лет тому назад. Во время О. о. край материкового ледника доходил до совр. Валдайской возв. Нек-рые исследователи (в т. ч. предложивший в 1938 это назв. сов. геолог А. И. Москвитин) считают О. о. вторым оледенением позднего плейстоцена, к-рое было отделено от первого (калининского оледенения) тёплым временем (молого-шекснинским межледниковьем). Др. учёные рассматривают О. о. как часть единственного, по их мнению, и более длит, позднеплейстоценового валдайского оледенения. См. Антропоге-новая система (период).
ОСТВАЛЬД (Ostwald) Вильгельм Фридрих (2.9.1853, Рига,- 4.4.1932, Лейпциг), немецкий физико-химик и философ-идеалист. Окончил в 1875 Дерптский (Тартуский) ун-т. Профессор Рижского политехнич. уч-ща (1882 - 87), Лейпцигского ун-та (1887-1906). Чл.-корр. Петерб. АН (1896). Осн. науч. работы поев, развитию теории электролитической диссоциации. Обнаружил связь электропроводности растворов кислот со степенью их электролитич. диссоциации (1884); дал способ определения основности кислот по электропроводности их растворов (1887 - 88); установил Оствальда закон разбавления (1888); предложил рассматривать реакции аналитич. химии как взаимодействия между ионами (1894). Изучал также вопросы хим. кинетики и катализа; разработал основы каталитич. окисления аммиака. В 1887 О. вместе с Я. Вант-Гоффом основал "Журнал физической химии" ("Zeitschrift fur physikalische Chemie"), а в 1889 осуществил издание "Классики точных наук" ("Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften"). О. - автор "энергетической" теории, одной из разновидностей "физического" идеализма. О. считал единств. реальностью энергию, рассматривал материю как форму проявления энергии. В. И. Ленин оценивал О. как "...очень крупного химика и очень путаного философа..." (Поли. собр. соч., 5 изд., т. 18, с. 173). Нобелевская пр. по химии (1909).
С о ч.: Lehrbuch der allgemeinen Chemie, 2 Aufl., Bd 1-2, Lpz., 1910-11; Elektrochemie. Ihre Geschichte und Lehre, Lpz., 1896; в рус. пер.- Научные основы аналитической химии в элементарном изложении, М., [1925]; Физико-хнмические измерения, ч. 1 - 2, Л., 1935. Перечень филос. работ О. см. Философская энциклопедия, т. 4, М., 1967, с. 174.
Лит.: Родный Н. И., С о л о в ь е в Ю. И., Вильгельм Оствальд, 1853 - 1932, М., 1969; Ostwald G., Wilhelm Ostwald - mein Vater, Stuttg.- В., 1953.
ОСТВАЛЬДА ЗАКОН РАЗБАВЛЕНИЯ, соотношение, выражающее зависимость эквивалентной электропроводности разбавленного раствора бинарного слабого электролита от концентрации раствора:
[1847-18.jpg]
Здесь К - константа диссоциации электролита, с - концентрация, Л и Лоо - значения эквивалентной электропроводности соответственно при концентрации с и при бесконечном разбавлении.
Соотношение является следствием дей-ствующих масс закона и равенства Л/Лоо=а, где а - степень диссоциации. О. з. р. выведен В. Оствалъдом в 1888 и им же подтверждён опытным путём. Экспериментальное установление правильности О. з. р. имело большое значение для обоснования теории электролитической диссоциации.
1837.htm
ОРТОГОНАЛЬНАЯ МАТРИЦА порядка п, матрица
[1837-1.jpg]
произведение к-рой на транспонированную матрицу А' даёт единичную матрицу, то есть АА' = Е (а следовательно, и А'А = Е). Элементы О. м. удовлетворяют соотношениям:
[1837-2.jpg]
Определитель |А| О. м. равен +1 или - 1. При перемножении двух О. м. снова получается О. м. Все О. м. порядка п относительно операции умножения образуют группу, называемую ортогональной. При переходе от одной прямоугольной системы координат к другой коэффициенты аij в формулах преобразования координат
[1837-3.jpg]
образуют О. м. См. также Унитарная матрица.
ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ, частный случай параллельной проекции, когда ось или плоскость проекций перпендикулярна (ортогональна) направлению проектирования.
ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ, система функций {фп(x)},п=1, 2, . . ., ортогональных с весом р (х) на отрезке [а, b], т. е. таких, что
[1837-4.jpg]
Систематич. изучение О. с. ф. было начато в связи с методом Фурье решения краевых задач ур-ний математич. физики. Этот метод приводит, напр., к разысканию решений Штурма - Лиувилля задачи для ур-ния [р(х)у']'+q(x)у=Лу, удовлетворяющих граничным условиям у(а)+hy'(a)=0, у(b)+Ну'(b)=0, где h и Н - постоянные. Эти решения - т. н. собственные функции задачи - образуют О. с. ф. с весом р (х) на отрезке [а, b].
Чрезвычайно важный класс О. с. ф.- ортогональные многочлены - был открыт П. Л. Чебышевым в его исследованиях по интерполированию способом наименьших квадратов и проблеме моментов. В 20 в. исследования по О. с. ф. проводятся в основном на базе теории интеграла и меры Лебега. Это способствовало выделению этих исследований в самостоят, раздел математики. Одна из осн. задач теории О. с. ф.- задача о разложении функции f(x) в ряд вида сумма Спфп(х), где {(фп(х)} - О. с. ф. Если положить формально f (х) = сумма Спфп(х), где (фп(х)} - нормированная О. с. ф., и допустить возможность почленного интегрирования, то, умножая этот ряд на фп(x) p(x) и интегрируя от а до b, получим:
[1837-5.jpg]
имеет наименьшее значение по сравнению с ошибками, даваемыми при том же п другими линейными выражениями вида
[1837-6.jpg]
Сп, вычисленными по формуле (*), наз. рядом Фурье функции f (x) по нормированной О. с. ф. (фп(х)}. Для приложений первостепенную важность имеет вопрос, определяется ли однозначно функция f(x) своими коэффициентами Фурье. О. с. ф., для к-рых это имеет место, наз. полными, или замкнутыми. Условия замкнутости О. с. ф. могут быть даны в неск. эквивалентных формах. 1) Любая непрерывная функция f(x) может быть с любой степенью точности приближена в среднем линейными комбинациями функций фk(х), то есть limn->ообn =0 [в этом случае говорят, что ряд суммаооn=1 Спфп(х) сходится в среднем к функции f(x)}. 2) Для всякой функции f(x), квадрат к-рой интегрируем относительно веса р (х), выполняется условие замкнутости Ляпунова - Стеклова:
[1837-7.jpg]
3) Не существуег отличной от нуля функции с интегрируемым на отрезке [а, b] квадратом, ортогональной ко всем функциям фп(х), п = 1, 2, ....
Если рассматривать функции с интегрируемым квадратом как элементы гильбертова пространства, то нормированные О. с. ф, будут системами координатных ортов этого пространства, а разложение в ряд по нормированным О. с. ф.- разложением вектора по ортам. При этом подходе многие понятия теории нормированных О. с. ф. приобретают наглядный геометрич. смысл. Напр., формула (*) означает, что проекция вектора на орт равна скалярному произведению вектора и орта; равенство Ляпунова - Стеклова может быть истолковано как теорема Пифагора для бесконечномерного пространства: квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проекций на оси координат; замкнутость О. с. ф. означает, что наименьшее замкнутое подпространство, содержащее все векторы этой системы, совпадает со всем пространством и т. д. Лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М.- Л., 1949; его же, Теория функций вещественной переменной, 2 изд., М., 1957; Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер. с англ., М., 1948; К а ч м а ж С., ШтейнгаузГ., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958.
ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменным длины или (что эквивалентно этому) скалярное произведение векторов. В ортогональном и нормированном базисе О. п. соответствует ортогональная матрица. О. п. образуют группу - т. н. группу вращений данного евклидова пространства вокруг начала координат. В трёхмерном пространстве О. п. сводится к повороту на нек-рый угол вокруг нек-рой оси, проходящей через начало координат О, если определитель соответствующей ортогональной матрицы равен +1. Если же этот определитель равен -1, то поворот дополняется зеркальным отражением относительно плоскости, проходящей через О и перпендикулярной оси поворота. В двумерном пространстве, т. е. в плоскости, О. п. определяет поворот на нек-рый угол вокруг начала координат О или зеркальное отражение относительно нек-рой прямой, проходящей через О. Используется О. п. при приведении к гл. осям квадратичной формы. См. также Матрица, Векторное пространство.
ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ (греч. orthogonios - пря1тоугольный, от orthos - прямой и gonia - угол), обобщение (часто синоним) понятия перпендикулярности. Если два вектора в трёхмерном пространстве перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Это позволяет обобщить понятие перпендикулярности, распространив его на векторы в любом линейном пространстве, в к-ром определено скалярное произведение, обладающее обычными свойствами (см. Гильбертово пространство), назвав два вектора о р-тогональными, если их скалярное произведение равно нулю. В частности, вводя скалярное произведение в пространстве комплекснозначных функций, заданных на отрезке [а, b] формулой
[1837-8.jpg]
где р(х) >= 0, называют две функции f(x) и ф(x), Для которых (f, ф)р = 0, то есть
[1837-9.jpg]
ортогональными с весом р(х). Два линейных подпространства наз. ортогональными, если каждый вектор одного из них ортогонален каждому вектору другого. Это понятие обобщает понятие перпендикулярности двух прямых или прямой и плоскости в трёхмерном пространстве (но не понятие перпендикулярности двух плоскостей). Термином ортогональные кривые обозначают кривые линии, пересекающиеся под прямым углом (измеряется угол между касательными в точке пересечения). См., напр., ортогональные траектории в ст. Изогональные траектории.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ, специальные системы многочленов (рп(х)}; п = 0, 1, 2, . . ., ортогональных с весом р(д-) на отрезке [", о] (см. Ортогональная система функций). Нормированная система О. м. обозначается через рп(х), а система О. м., старшие коэффициенты к-рых равны 1,- через Рп(х). В краевых задачах математич. физики часто встречаются системы О. м., для к-рых вес р(х) удовлетво |
