| 11652078 12288 3054 948 1и тому же классу, неотличимы по определяемому т. о. свойству. Так, напр., в политической экономии определяется стоимость (через отношение обмениваем ости товаров), в теории множеств - мощность множеств (через отношение теоретико-множественной эквивалентности). О. ч. а. всегда (хотя обычно и неявно) опирается на т. н. принцип абстракции, или принцип свёртывания, согласно к-рому каждому свойству соотносится класс (множество) объектов, обладающих этим свойством. В практич. приложениях этот принцип весьма удобен, естествен и плодотворен; но постулирование его как универсального методологич. закона приводит к трудностям, проявляющимся прежде всего в виде парадоксов (логики и теории множеств). См. Аксиоматический метод. Метаматематика, Непротиворечивость.
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ, одно из основных понятий матем. анализа, к к-рому приводится решение ряда задач геометрии, механики, физики. О. и. является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм), соответствующих функции f(x) и отрезку
[а, б]. Геометрически О. и. выражает площадь "криволинейной трапеции", ограниченной отрезком [а, о] оси Ох, графиком функции f(x) и ординатами точек графика, имеющих абсциссы а и Ь. Точное определение и обобщение О. и. см. в статьях Интеграл, Интегральное исчисление.
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ, детерминант, особого рода матем. выражение, встречающееся в различных областях математики. Пусть дана матрица порядка п, т. е. квадратная таблица, составленная из n2 элементов (чисел, функций и т. п.):
[1830-1.jpg]
(каждый элемент матрицы снабжён двумя индексами: первый указывает номер строки, второй - номер столбца, на пересечении к-рых находится этот элемент). Определителем матрицы (1) наз. многочлен, каждый член к-рого является произведением п элементов матрицы (1), причём из каждой строки и каждого столбца матрицы в произведение входит лишь один сомножитель, т. е. многочлен вида
[1830-2.jpg]
В этой формуле а, b, ... y есть произвольная перестановка чисел 1, 2, ..., п. Перед членом берётся знак+, если перестановка а, (3, ..., у чётная, и знак - , если эта перестановка нечётная. [Перестановку называют чётной, если в ней содержится чётное число нарушений порядка (или инверсий), т. е. случаев, когда большее число стоит впереди меньшего, и нечётной - в противоположном случае; так, напр., перестановка 51243 - нечётная, т. к. в ней имеется 5 инверсий 51, 52, 54, 53, 43.] Суммирование производится по всем перестановкам а, (3, ..., у чисел 1,2, ..., п. Число различных перестановок п симво-
лов равно п\ = l-2-З'...'п; поэтому О. содержит п\ членов, из к-рых 1/2 n! берётся со знаком + и 1/2 п! со знаком -. Число п наз. порядком О.
О., составленный из элементов матрицы (1), записывают в виде:
[1830-3.jpg]
(или, сокращённо, в виде |air|). Для О. 2-го и 3-го порядков имеем формулы:
[1830-4.jpg]
О. 2-го и 3-го порядков допускают простое геом. истолкование:
[1830-5.jpg]
равен площади параллелограмма, построенного на векторах a1 = (x1, y1) и а2 = (x2,y2), а
[1830-6.jpg]
равен объёму параллелепипеда,
построенного на векторах а1 = (х1, у1, z1 ), а2 = (х2, y2, z2) и а3 = (х3, y3, z3) (системы координат предполагаются прямоугольными).
Теория О. возникла в связи с задачей решения систем алгебраич. уравнений 1-й степени (линейные уравнения). В наиболее важном случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, такая система может быть записана в виде:
[1830-7.jpg]
Эта система имеет одно определённое решение, если О. |air|, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю; тогда неизвестное хт(т = 1, 2, ..., п) равно дроби, у к-рой в знаменателе стоит О. |air|, а в числителе - О., получаемый из |air| заменой элементов m-го столбца (т. е. коэффициентов при хт) числами b1, b2, ..., bп. Так, в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными
[1830-8.jpg]
Если b1 = b2 = ..., = bп = О, то систему (4) наз. однородной системой линейных уравнений. Однородная система имеет отличные от нуля решения, только если |air| = 0. Связь теории О. с теорией линейных уравнений позволила применить теорию О. к решению большого числа задач аналитич. геометрии. Многие формулы аналитич. геометрии удобно записывать при помощи О.; напр., уравнение плоскости, проходящей через
точки с координатами (х1, у1, z1 ), (х2, y2, z2),(х3, y3, z3) может быть записано в виде:
[1830-9.jpg]
О. обладают рядом важных свойств, к-рые, в частности, облегчают их вычисление. Простейшие из этих свойств следующие:
1) О. не изменяется, если в нём строки и столбцы поменять местами:
[1830-10.jpg]
2) О. меняет знак, если в нём поменять местами две строки (или два столбца); так, напр.:
[1830-11.jpg]
3) О. равен нулю, если в нём элементы двух строк (или двух столбцов) соответственно пропорциональны; так, напр.:
[1830-12.jpg]
4) общий множитель всех элементов строки (или столбца) О. можно вынести за знак О.; так, напр.:
[1830-13.jpg]
5) если каждый элемент к.-н. столбца (строки) О. есть сумма двух слагаемых, то О. равен сумме двух О., причём в одном из них соответствующий столбец (строка) состоит из первых слагаемых, а в другом - из вторых слагаемых, остальные же столбцы (строки) - те же, что и в данном О.; так, напр.:
[1830-14.jpg]
6) О. не изменяется, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель; так, напр.-
[1830-15.jpg]
7) О. может быть разложен по элементам к.-л. строки или к.-л. столбца. Разложение О. (3) по элементам г'-й строки имеет следующий вид:
[1830-16.jpg]
Коэффициент Air, стоящий при элементе аir, в этом разложении, наз. алгебраическим дополнением элемента аir. Алгебраич. дополнение может быть вычислено по формуле: Air = (-1)i+k Dir, где Dir - минор (подопределитель, субдетерминант), дополнительный к элементу ал, то есть О. порядка п-1, получающийся из данного О. посредством вычёркивания строки и столбца, на пересечении к-рых находится элемент an,. Напр., разложение О. 3-го порядка по элементам второго столбца имеет следующий вид:
[1830-17.jpg]
Посредством разложения по элементам строки или столбца вычисление О. и-го порядка приводится к вычислению га определителей (п - 1)-го порядка. Так, вычисление О. 5-го порядка приводится к вычислению пяти О. 4-го порядка; вычисление каждого из этих О. 4-го порядка можно, в свою очередь, привести к вычислению четырёх О. 3-го порядка (формула для вычисления О. 3-го порядка приведена выше). Однако, за исключением простейших случаев, этот метод вычисления О. практически применим лишь для О. сравнительно небольших порядков. Для вычисления О. большого порядка разработаны различные, практически более удобные методы (для вычисления О. n-го порядка приходится выполнять примерно n3 арифметических операций).
Отметим ещё правило умножения двух О. к-го порядка: произведение двух О. и-го порядка может быть представлено в виде О. того же и-го порядка, в к-ром элемент, принадлежащий i-й строке и k-му столбцу, получается, если каждый элемент г'-й строки первого множителя умножить на соответствующий элемент k-го столбца второго множителя и все эти произведения сложить; иными словами, произведение О. двух матриц равно О. произведения этих матриц.
В матем. анализе О. систематически используются после работ нем. математика К. Якоби (2-я четверть 19 в.), исследовавшего О., элементы к-рых являются не числами, а функциями одного или нескольких переменных. Из таких О. наибольший интерес представляет определитель Якоби (якобиан)
[1830-18.jpg]
Определитель Якоби равен коэффициенту искажения объёмов при переходе от переменных за. хг, .... хпк переменным
[1830-19.jpg]
Тождественное равенство в нек-рой области этого О. нулю является необходимым и достаточным условием зависимости
ФУНКЦИЙ f1(X1, ..., Хп), f2(X1,..., Хп), ..., fn(X1, ... Хп).
Во 2-й пол. 19 в. возникла теория О. бесконечного порядка. Бесконечными О. наз. выражения вида:
[1830-20.jpg]
(двусторонний бесконечный О.). Бесконечный О. (5) есть предел, к к-рому стремится О.
[1830-21.jpg]
при бесконечном возрастании числа и. Если этот предел существует, то О. (5) наз. сходящимся, в противном случае - расходящимся. Исследование двустороннего бесконечного О. иногда можно привести к исследованию нек-рого одностороннего бесконечного О.
Теория О. конечного порядка создана в основном во 2-й пол. 18 в. и 1-й пол. 19 в. (работами швейцарского математика Г. Крамера, франц. математиков А. Вандермонда, П. Лапласа, О. Кошм, нем. математиков К. Гаусса и К. Якоби). Термин "О." ("детерминант") принадлежит К. Гауссу, совр. обозначение - англ, математику А. Кэли.
Лит. см. при статьях Линейная алгебра, Матрица.
ОПРЕДМЕЧИВАНИЕ И РАСПРЕДМЕЧИВАНИЕ, категории марксистской философии, выражающие собой противоположности, единством и взаимопроникновением к-рых является человеческая предметная деятельность. О п р е д м е чивание - это процесс, в к-ром человеческие способности переходят в предмет и воплощаются в нём, благодаря чему предмет становится социально-культурным, или "человеческим предметом" (см. К. Маркс, в кн.: Маркс К. и Энгельс Ф., Из ранних произведений, 1956, с. 593). В своём результате опредмечива-ние всегда имеет наряду с реальным также и идеальное (смысловое) значение, так что всякий результат олредмечивания обладает культурно-ист, адресованностью, направленной на др. людей, социальные группы.
Распредмечивание - это процесс, в к-ром свойства, сущность, "логика предмета" становятся достоянием человека, его способностей, благодаря чему последние развиваются и наполняются предметным содержанием. Человек распредмечивает как формы прошлой культуры, так и природные явления, к-рые он тем самым включает в свой обществ, мир. О. и р. раскрывают внутр. динамизм материальной и духовной культуры как живого целого, существующего только в процессе непрерывного воспроизведения его и созидания человеческой деятельностью. Тем самым эти категории фиксируют элементарную клеточку деятельности, посредством к-рой человек включён в исторически определённое бытие. Через О. и р. человек определённым образом относится к своей настоящей, прошедшей и грядущей культуре. В наименьшей степени категории О. и р. обнаруживаются в утилитарно потребляемых благах, в наибольшей степени - в произведениях духовной культуры.
Открытие К. Марксом категории О. и р. имеет фундаментальное значение для исследований в области филос. проблемы человека, для осмысления принципов и перспектив коммунистического воспитания. Г. С. Батигцев.
ОПРЕЛОСТЬ, воспалительное поражение, возникающее в складках кожи при трении её соприкасающихся поверхностей. Причины О. - усиленные сало-и потоотделение, недержание мочи, выделения из свищей, геморрой, недостаточное обсушивание складок кожи после купания и т. п. Наблюдается в межпальцевых промежутках ног (реже рук), в подмышечных впадинах, под молочными железами, в складках живота и шеи у тучных людей и т. д. О. проявляется вначале в виде эритемы, затем в глубине складки образуются поверхностные некровоточащие трещины. В запущенных случаях роговой слой кожи отторгается и образуется эрозия. При попадании инфекции течение О. затягивается. Лечение: устранение причин, вызвавших О., противовоспалит. средства. Профилактика: гигиенич. содержание кожи, устранение причин повышенного пото- и салоотделения.
ОПРЕСНЕНИЕ ВОДЫ, способ обработки воды с целью снижения концентрации растворённых солей до степени (обычно до 1 г/л), при к-рой вода становится пригодной для питьевых и хоз. целей. Дефицит пресной воды ощущается на терр. более 40 стран, расположенных гл. обр. в аридных, а также засушливых областях и составляющих ок. 60% всей поверхности земной суши (по расчётам, к нач. 21 в. достигнет 120-150*109м3 в год). Этот дефицит может быть покрыт опреснением солёных (солесодержа-ние более 10 г/л) и солоноватых (2- 10 г/л) океанических, морских и подзе |
