| 11652078 12288 3054 948 1го программирования, основы которого разработаны американским учёным Р. Беллманом и его сотрудниками.
В общих чертах задача О. у. состоит в следующем. Рассмотрим управляемый объект, под к-рым понимается нек-рая машина, прибор или процесс, снабжённые "рулями". Манипулируя "рулями" (в пределах имеющихся ресурсов управления), мы тем самым определяем движение объекта, управляем им. Напр., технологич. процесс осуществления химич. реакции можно считать управляемым объектом, "рулями" к-рого являются концентрации ингредиентов, количество катализатора, поддерживаемая температура и др. факторы, влияющие на течение реакции. Для того чтобы знать, как именно ведёт себя объект при том или ином управления, необходимо иметь закон движения, описывающий динамич. свойства рассматриваемого объекта и устанавливающий для каждого избираемого правила манипулирования "рулями" эволюцию состояния объекта. Возможности управлять объектом лимитируются не только ресурсами управления, но и тем, что в процессе движения объект не должен попадать в состояния, физически недоступные или недопустимые с точки зрения конкретных условий его эксплуатации. Так, осуществляя манёвр судном, необходимо учитывать не только технич. возможности самого судна, но и границу фарватера.
Имея дело с управляемым объектом, всегда стремятся так манипулировать " рулями", чтобы, исходя из определённого нач. состояния, в итоге достичь нек-рого желаемого состояния. Напр., для запуска ИСЗ необходимо рассчитать режим работы двигателей ракеты-носителя, к-рый обеспечит доставку спутника на желаемую орбиту. Как правило, существует бесконечно много способов управлять объектом так, чтобы реализовать цель управления. В связи с этим возникает задача найти такой способ управления, к-рый позволяет достичь желаемого результата наилучшим, оптимальным образом в смысле определённого критерия качества; в конкретных задачах часто требуется реализовать цель управления за наименьшее возможное время или с минимальным расходом горючего, или с максимальным экономич. эффектом и т. п.
В качестве типичного можно привести управляемый объект, закон движения к-рого описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений
[1831-1.jpg]
где х1, . . ., хn - фазовые координаты, характеризующие состояние объекта в момент времени t, а и1, . . ., иr - управляющие параметры. Управление объектом означает выбор управляющих параметров как функций времени
Uj = Uj(t), j=1,..., r, (2)
являющихся допустимыми с точки зрения имеющихся возможностей управления объектом. Напр., в прикладных задачах часто требуется, чтобы в каждый момент времени точка (u1, . . ., ur)принадлежала заданному замкнутому множеству U. Это последнее обстоятельство делает рассматриваемую вариационную задачу неклассической. Пусть заданы начальное
(хо1, . . ., хоn) и конечное (х11, . . ., х1n)
состояния объекта (1). Об управлении (2) говорят, что оно реализует цель управления, если найдётся такой момент времени t1 > t0, что решение (х1 (t), . . ., хn(t)) задачи
[1831-2.jpg]
удовлетворяет условию х1 (t1) = x11. Качество этого управления будем оценивать значением функционала
[1831-3.jpg]
где f0 (х1, . . ., хn, u1,..., иr) - заданная функция. Задача О. у. состоит в отыскании такого реализующего цель управления, для к-рого функционал (4) принимает наименьшее возможное значение. Т. о., математич. теория О. у.- это раздел математики, рассматривающий неклассические вариационные задачи отыскания экстремумов функционалов на решениях уравнений, описывающих управляемые объекты, и управлений, на к-рых реализуется экстремум.
Сформулируем для поставленной задачи необходимое условие оптимальности управления.
Принцип максимума Понтрягина. Пусть вектор-функция
[1831-4.jpg]
- оптимальное управление, а вектор-функция
[1831-5.jpg]
- соответствующее ему решение задачи (3). Рассмотрим вспомогательную линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
[1831-6.jpg]
зависящую, помимо х и и, от вектора ф = (фо, ф1, . . ., фn). Тогда у линейной системы (6) существует такое нетривиальное решение
[1831-7.jpg]
что для всех точек t из отрезка [t0, t1], в к-рых функция (5) непрерывна, выполнено соотношение
[1831-8.jpg]
К виду (1) обычно приводятся уравнения движения в случае управляемых механич. объектов с конечным числом степеней свободы. В многочисленных реальных ситуациях возникают и иные постановки задач О. у., отличающиеся от приведённой выше: задачи с фиксированным временем, когда продолжительность процесса заранее задана, задачи со скользящими концами, когда про начальное и конечное состояния известно, что они принадлежат нек-рым множествам, задачи с фазовыми ограничениями, когда решение задачи (3) в каждый момент времени должно принадлежать фиксированному замкнутому множеству, и др. В задачах механики сплошных сред характеризующая состояние управляемого объекта величина х является функцией уже не только времени, но и пространственных координат (напр., величина х может описывать распределение температуры в теле в данный момент времени), а закон движения будет дифференциальным уравнением с частными производными. Часто приходится рассматривать управляемые объекты, когда независимая переменная принимает дискретные значения, а закон движения представляет собой систему конечно-разностных уравнений. Наконец, отдельную теорию составляет О. у. стохастическими объектами.
Лит.: Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969 (авт. Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Г а м к р е л и д з е, Е. Ф. Мищенко); Красовский Н. Н., Теория управления движением, М., 1968; Моисеев Н. Н., Численные методы в теории оптимальных систем, М., 1971. Н. X, Розов.
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЦЕНЫ при социализме, цены, получаемые в процессе расчёта оптимального плана произ-ва и потребления продукции на одном и том же массиве экономич. информации методами математического программирования (см. Планирование оптимальное). Применение О. ц. в масштабах нар. х-ва возможно только в условиях социалистич. системы х-ва. Действие основного экономического закона социализма позволяет представить народнохозяйственное планирование в экстремальной динамической задаче математического программирования.
О. ц. обладают следующими свойствами: обеспечивают хозрасчётное стимулирование выполнения плановых заданий в натуральном выражении (все производств, способы, вошедшие в оптимальный план и измеренные в О. ц., рентабельны; все отвергнутые хоз. решения убыточны); оценивают затраты отдельных хоз. звеньев с позиций их нар.-хоз. эффективности (О. ц. включают не только прямые затраты на произ-во конкретного продукта, но и всю совокупность дополнит, затрат, к-рые общество вынуждено нести в др. сферах в связи с произ-вом данного продукта); характеризуют уменьшение или увеличение обществ, затрат и результатов только в пределах небольших изменений произ-ва и потребления продукции. Последнее свойство О. ц. позволяет использовать их для оценки микроэкономич. процессов. Н. Я. Петраков.
ОПТИМАЛЬНЫЙ (от лат. optimus- наилучший), наиболее благоприятный, лучший из возможных (напр., О. решение).
ОПТИМАТЫ (лат. optimates - знатные, от optimus - наилучший), идейно-политич. течение в Римской республике (кон. 2-1 вв. до н. э.), отражавшее интересы нобилитета и противостоявшее популярам.
ОПТИМЕТР (от греч. optos - видимый и ...метр), прибор для измерения линейных размеров (относительным методом), преобразовательным элементом в к-ром служит рычажно-оптич. механизм. Рычажной передачей является в механизме качающееся зеркало, оптич. преобразователем - автоколлимац. трубка (см. Автоколлиматор). Качающееся зеркало в измерит, приборах впервые применил нем. инж. И. Сакстон в 1837. Прибор, в к-ром использовалось качающееся зеркало с автоколлимационной зрительной трубкой, впервые изготовлен в 1925 (фирма Цейс, Германия). Выпускаются вертикальные и горизонтальные О., различающиеся только конструкцией станины. Оптич. преобразователь О.-трубка может иметь окулярный или проекционный отсчёт (рис.). В трубке с проекционным отсчётом освещается лампой пластина, на к-рой с одной стороны от центра нанесена шкала, а с другой - индекс. В окулярной трубке пластина освещается "зайчиком" от специального зеркала. Изображение шкалы попадает сначала на неподвижное зеркало, а затем на зеркало, которое качается и занимает различные угловые положения в зависимости от положения измерит, стержня. В трубке с окулярным отсчётом нет неподвижного зеркала. После отражения от зеркала изображение шкалы попадает на вторую половину пластины (накладывается на индекс). Вторичное изображение шкалы, к-рое смещается относительно неподвижного индекса при перемещении стержня, проектируется с помощью зеркал на экран в проекц. трубке О. (или рассматривается через окуляр). Трубка О. имеет шкалу с ценой деления 1 мкм, предел измерения по шкале ± 100 мкм.
Схема оптиметра с проекционным отсчётом: 1 - лампа; 2 - пластина со шкалой и индексом; 3 - экран; 4 - проектирующие зеркала; 5-неподвижное зеркало; 6-качающееся зеркало; 7 - измерительный стержень.
О. с ценой деления 0,2 мкм и пределом измерения ± 25 мм известен под назв. ультраоптиметр; его отличие от рассмотренной схемы заключается в том, что изображение шкалы дважды отражается от подвижного зеркала, благодаря чему увеличивается длина оптич. рычага, что позволяет уменьшить цену деления.
О. снабжаются съёмной оснасткой: приспособлениями для измерения среднего диаметра резьбы, размеров проволочек, длин концевых мер и т. п.; проекционной насадкой для окулярных трубок, электроконтактной головкой для измерения отверстий размерами от 1 до 13,5 мм (горизонтальный О.) и др.
Лит. см. при ст. Оптический измерительный прибор. Н. Н. Марков.
ОПТИМИЗАЦИЯ (от лат. optimum - наилучшее), процесс нахождения экстремума (глобального максимума или минимума) определённой функции или выбора наилучшего (оптимального) варианта из множества возможных. Наиболее надёжным способом нахождения наилучшего варианта является сравнительная оценка всех возможных вариантов (альтернатив). Если число альтернатив велико, при поиске наилучшей обычно используют методы математического программирования. Применить эти методы можно, если есть строгая постановка задачи: задан набор переменных, установлена область их возможного изменения (заданы ограничения) и определён вид целевой функции (функции, экстремум которой нужно найти) от этих переменных. Последняя представляет собой количественную меру (критерий) оценки степени достижения поставленной цели. В т. н. динамич. задачах, когда ограничения, наложенные на переменные, зависят от времени, для нахождения наилучшего варианта действий используют методы оптимального управления и динамич. программирования.
Результаты любых практич. мероприятий характеризуются несколькими показателями, напр, затратами, объёмом выпускаемой продукции, временем, степенью риска и т. п. Рассматривая конкретную задачу О., устанавливают, может ли в качестве целевой функции (критерия оценки) быть принят один из показателей, характеризующих ожидаемые результаты реализации того или иного варианта, с условием, что на численные значения др. показателей наложены строгие ограничения. Так, при выборе наилучшего варианта произ-ва заданного количества определённой продукции в качестве критерия иногда принимают затраты или время (при фиксированных затратах). При нахождении наилучшего варианта использования имеющегося оборудования, предназначенного для произ-ва продукции одного вида в определённых условиях, критерием может служить объём выпуска этой продукции. Выбор метода О. для решения конкретной задачи зависит от вида целевой функции и характера ограничений. Применение методов математического программирования существенно ускоряет процесс решения задачи на нахождение экстремума благодаря тому, что сокращается число перебираемых вариантов.
В большинстве практич. задач, в особенности в задачах, связанных с долгосрочным планированием, отсутствуют строгие ограничения на мн. переменные (или показатели). В этих случаях имею |
