БЭС:
Большой
Советский
Энциклопедический
Словарь

Термины:

ПЕРЕНОСНОЕ ЗНАЧЕНИЕ СЛОВА, вторичное (производное) значение слова.
ОТШЕЛЬНИЧЕСТВО, анахоретcтво, отказ из религ. побуждений от общения с людьми.
ОПЕРАТОРЫ в квантовой теории, математич. понятие.
ЛИМОННИК (Schizandra), род растений сем. схизандровых.
ОБРАТНАЯ КОНДЕНСАЦИЯ, ретроградная конденсация.
НИТРОГЛИКОЛЬ, гликольдинитрат, O2NOCH2- CH2ONO2.
НЕПОТОПЛЯЕМОСТЬ судна, способность судна оставаться на плаву.
НАЧЁТ ДЕНЕЖНЫЙ, по сов. трудовому праву одна из форм возмещения имуществ ущерба.
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА, раздел оптики.
ПИРЕЙ (Peiraieus), город в Греции, на сев.-вост. берегу Саронического зал. Эгейского м..


Фирмы: адреса, телефоны и уставные фонды - справочник предприятий оао в экономике.

Большая Советская Энциклопедия - энциклопедический словарь:А-Б В-Г Д-Ж З-К К-Л М-Н О-П Р-С Т-Х Ц-Я

116520781228830549481ординатных плоскостей (пусть на плоскость хОу) будет Л. п. трёхмерного векторного пространства: каждому вектору а с координатами х,у, z сопоставляется новый вектор Ь, координаты х', у', z' к-рого выражаются через х, у, z следующим образом : х' = x, у' = у, z' = 0. Пример Л. п. плоскости - поворот её на угол а вокруг начала координат. Матрицу

[1407-20.jpg]

составленную из коэффициентов Л. п. А, называют его матрицей. Матрицами приведённых выше Л. п. проектирования и поворота будут соответственно

[1407-21.jpg]

Л. п. векторного пространства можно определить (как обычно поступают) без использования системы координат: соответствие х^гу = Ах называют Л. п., если выполняются условия А (х + у) = Ах + + Ау и А(ах) = аА(х) для любых векторов х и у и любого числа а. В разных системах координат одному и тому же Л. п. будут соответствовать разные матрицы и, следовательно, разные формулы для преобразования координат.

К Л. п. относится, в частности, нулевое Л. п. О, переводящее все векторы в О (нулевой вектор) : Од: = 0 и единичное Л. п. Е, оставляющее все векторы без изменения: Ex = х; этим Л. п. в любой системе координат соответствуют нулевая и единичная матрицы.

Для Л. п. векторного пространства естественным образом определяются операции сложения и умножения: суммой двух Л. п. А и В называют Л. п. С, переводящее любой вектор х в вектор Сх = Ах + Вх; произведением Л. п. Л и В называют результат их последовательного применения: С = АВ, если Сх = А(Вх).

В силу этих определений совокупность всех Л. п. векторного пространства образует кольцо. Матрица суммы (произведения) Л. п. равна сумме (произведению) матриц Л. п. слагаемых (сомножителей); при этом существен порядок множителей, так как произведение Л. п., как и матриц, не обладает свойством коммутативности. Л. п. можно также умножать на числа: если Л. п. Л переводит вектор х в вектор у = Ах, то аА переводит х в ау. Примеры операций над Л. п.: 1) Пусть А к В означают операции проектирования на оси Ox и Оу в трёхмерном пространстве; А + В будет проектированием на плоскость хОу, а АВ = 0. 2) А я В-повороты плоскости вокруг начала координат на углы ф и г|); АВ будет поворотом на угол ф + х|). 3) Произведение единичного Л. п. Е на число а будет преобразованием подобия с коэффициентом растяжения (или сжатия) ос. Л. п. В называют обратным к Л. п. А (и обозначают А"1), если ВА = Е (или АВ = Е). Если Л. п. А переводило вектор х в вектор у, то Л. п. Д-1 переводит у обратно в х. Л. п., обладающее обратным, называют невырожденным; такие Л. п. характеризуются также тем, что определитель их матрицы не равен нулю. Нек-рые классы Л. п. заслуживают особого упоминания. Обобщением поворотов двумерных и трёхмерных евклидовых пространств являются ортогональные (или унитарные - в комплексных пространствах) Л. п. Ортогональные Л. п. не изменяют длин векторов (а следовательно, и углов между ними). Матрицы этих Л. п. в ортонормированной системе координат также наз. ортогональными (унитарными); произведение ортогональной матрицы на её транспонированную даёт единичную матрицу: 2йа(йауй = 2йай,-ййу = 0 при zV-j, 2.йа2.й = = .?йа\. = 1 (в_комплексном пространстве .Ейа.ьа;/. = Ъьаыпы = 0, 2й|а^|2 = -Sfc|at.|2 = 1). Симметрическим (эрмито- в ы м, или самосопряжён- н ы м, - в комплексном пространстве) Л. п. называют такое Л. п., матрица к-рсто_ симметрическая: а. •• = а/. (или ati = ац). Симметрические Л. п. осуществляют растяжение пространства с разными коэффициентами по неск. взаимно ортогональным направлениям. С симметрическими Л. п. связана теория квадратичных форм (или эрмитовых форм в комплексном пространстве).

Приведённое выше определение Л. п. в векторном пространстве, не использующее координатную систему, без всяких изменений распространяется и на бесконечномерные (в частности, функциональные) пространства. Л. п. в бесконечномерных пространствах принято называть линейными операторами.

Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ, математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных неравенств и равенств; Л. п. является одним из разделов математического программирования.

Типичным представителем задач Л. п. является следующая: найти максимум линейной функции

[1407-22.jpg]

при условиях

[1407-23.jpg]

где a, atj и bt - заданные величины. Задачи Л. п. являются матем. моделями многочисленных задач технико-эко- номич. содержания. Рассмотрим в качестве примера следующую задачу планирования работы предприятия. Для производства однородных изделий необходимо затратить различные производств, факторы - сырьё, рабочую силу, станочный парк, топливо, транспорт и т. д. Обычно имеется неск. отработанных технологич. способов производства, причём в этих способах затраты производств, факторов в единицу времени для выпуска изделий различны. Количество израсходованных производств, факторов и количество изготовленных изделий зависит от того, сколько времени предприятие будет работать по тому или иному технологич. способу. Ставится задача рационального распределения времени работы предприятия по различным технологич. способам, т. е. такого, при к-ром будет произведено максимальное количество изделий при заданных ограниченных затратах каждого производств, фактора. Формализуем задачу. Пусть имеется п технологич. способов производства изделий и т производств, факторов. Введём обозначения: Cj - количество изделий, выпускаемых в единицу времени при работе по у-му технологич. способу; aij - расход /'-го производств, фактора в единицу времени при работе по ;-му технологич. способу; bi - имеющиеся ресурсы г'-го производств, фактора и xj - планируемое время работы по ;'-му технологич. способу. Величина

[1407-24.jpg]

означает общий расход г'-го производственного фактора при плане x(" = = (x(')i,x")2,...,x(')-1). И поскольку ресурсы ограничены величинами bi, то возникают естественные условия (2) и (3). Ставится задача отыскания такого распределения времени (оптимального плана) х* = = (x*i,x*2,..., х*„)работы по каждому технологич. способу, при к-ром общий объём

продукции [1407-25.jpg] был бы максимальным, то есть задача (1) - (3). Другим характерным примером прикладных задач Л. п. является транспортная задача.

Термин "Л. п." нельзя признать удачным, однако смысл его в том, что в Л. п. решаются задачи составления оптимальной программы (плана) действий. В связи с этим Л. п. можно рассматривать как один из матем. методов в исследованиях операций (см. Операций исследование).

Функцию (1) в Л. п. принято называть целевой функцией, или критерием эффективности, вектор х = (xi, x2,...,xn) - планом, вектор x* = (x*i, x*2,...,x*n)-оптимальным планом, а множество, определяемое условиями (2) - (3), - допустимым, или множеством планов. Одним из осн. методов решения задач Л. п. является симплексный метод. Геометрически его идея состоит в следующем. Допустимое множество (2)-(3) представляет собой выпуклое многогранное множество (если оно ограничено, то - многомерный выпуклый многогранник). Если задача Л. п. имеет решение, то существует вершина х* многогранного множества, являющаяся оптимальным планом. Симплексный метод состоит в таком направленном переборе вершин, при к-ром значение целевой функции возрастает от вершины к вершине. Каждой вершине соответствует система уравнений, выбираемая спец. образом из системы неравенств (2)-(3), поэтому вычислит, процедура симплексного метода состоит в последовательном решении систем линейных алгебраич. уравнений. Простота алгоритма делает этот метод удобным для его реализации на ЭВМ.

Лит.: Ю д и н Д. Б., ГольштейнЕ. Г., Линейное программирование, М-, 1969. В. Г. Карманов.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, то же, что векторное пространство. В функциональном анализе рассматриваются гл. обр. бесконечномерные пространства. Примером бесконечномерного Л. п. может служить пространство всех многочленов (с вещественными или комплексными коэффициентами) при обычном определении сложения и умножения на числа. Одним из первых примеров бесконечного Л. п. были гильбертово пространство и пространство С[а, Ь] непрерывных функций, заданных на отрезке [а, Ь]. Эти пространства являются нормированными, т. е. такими Л. п., в к-рых введена норма элемента x - неотрицательное число ||дг||, обращающееся в нуль лишь при x = 0 и обладающее свойствами \\\х\\ = |Х| \\x\\ и \\х + у\\< < 11x11 + \\У\\ (неравенство треугольника). Число \\х - у || называют расстоянием между элементами х к у (см. также Метрическое пространство). В нормированном Л. п. вводятся понятия открытого шара, предельной точки множества, непрерывности функционала аналогично тому, как это делается в трёхмерном пространстве.

В конечномерном пространстве различные нормы топологически равносильны: последовательность точек, сходящихся при одной норме, сходится и при любой другой. В бесконечномерных пространствах нормы могут быть существенно различны. Напр., при решении задачи П. Л. Чебыгиева о разыскании многочлена, наименее уклоняющегося от нуля (задачи о наилучшем приближении), надо найти такой многочлен (k - 1)-й степени [1407-26.jpg] чтобы

[1407-27.jpg]

имел наименьшее значение. Вводя в пространство С[0,1] норму формулой

[1407-28.jpg]

эту задачу можно сформулировать следующим образом: требуется найти многочлен [1407-29.jpg] расстояние к-рого от функции tk было бы наименьшим. При рассмотрении же многочленов, ортогональных с весом p(t) (см. Ортогональная система функций), естественно рассматривать норму, определённую формулой[1407-30.jpg]

и решать задачу о наилучшем приближении в смысле этой нормы. Нормы \\x\\i и \\х\\г существенно различны, так как, напр., последовательность функций

[1407-31.jpg]

по первой норме расходится, а по второй норме при p(t) = 1 сходится к функции

[1407-32.jpg]

Следует отметить, что хотя все функции х„ (t) были непрерывны, функция x(t) разрывна. Это связано с тем, что пространство непрерывных функций неполно относительно нормы ||x|[2. При этом нормированное Л. п. наз. полным, если для любой последовательности {хп} его элементов, удовлетворяющих условию

[1407-33.jpg]

существует в Л. п. такой элемент х, что данная последовательность сходится к нему, т.[1407-34.jpg] е.

Если Л. п. неполно, то к нему можно присоединить новые элементы (пополнить его) так, что оно станет полным. Напр., пополняя пространство непрерывных функций, взятое с нормой j|x|l2, получают гильбертово пространство L2P. Полные нормированные Л. п. наз. банаховыми, или В-п ространства- м и, - по имени изучившего их основные свойства С. Банаха.

Обобщением понятия В-пространства является понятие топологического Л. п. Так, называют множество Е, если: 1) оно представляет собой Л. п., 2) оно является топологическим пространством, 3) операции сложения и умножения на числа в Е непрерывны относительно заданной в Е топологии. К числу тополо- гич. Л. п. относятся все нормированные пространства. А. Н. Колмогоров установил (1934) необходимые и достаточные условия нормируемости топологич. Л. п.

Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 196.3-

ЛИНЕЙНОЕ СУДОХОДСТВО, см. Морские линии.

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ, уравнение, в к-рое неизвестные входят в 1-й степени (т. е. л и н е и н о) и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Несколько Л. у. относительно одних и тех же неизвестных образуют систему Л. у. Решением системы Л. у. называют набор чисел ct, c2,...,cn, обращающих все уравнения в тождества после подстановки их вместо соответствующих неизвестных. Система Л. у. может иметь как одно единственное решение, так и бесконечное множество решений (неопределённая система); может т