| 11652078 12288 3054 948 1акже оказаться, что система Л. у. не имеет ни одного решения (несовместная система).
Чаще всего встречается случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Одно Л. у. с одним неизвестным имеет вид:
[1407-35.jpg]
решением его при а не равно 0 будет число b/a. Система двух Л. у. с двумя неизвестными имеет вид:
[1407-36.jpg]
где аи, а!2, а2., а22, bt, bi - какие-либо числа. Решение системы (1) можно получить с помощью определителей:
[1407-37.jpg]
здесь предполагается, что стоящий в знаменателе определитель D = г|и д12 отличен от нуля. В числителях стоят определители, получающиеся из D заменой в нём одного столбца столбцом свободных членов bi, Ь2: в выражении для первого неизвестного xi заменяется первый столбец, а в выражении для второго неизвестного Х2 - второй.
Аналогичное правило применимо и при решении любой системы n Л. у. с п неизвестными, т. е. системы вида:
[1407-38.jpg]
здесь atj и hi (i,j = 1,2,...,n) - произвольные числовые коэффициенты; числа Ь\, &2,..., Ьп называют обычно свободными членами. Если определитель D - \ui!\ системы (2), составленный из коэффициентов atj при неизвестных, отличен от нуля, то решение получается следующим образом: ?-е (k = 1,2,..., n) неизвестное хь равно дроби, в знаменателе к-рой стоит определитель D, а в числителе - определитель, полученный из D заменой в нём столбца из коэффициентов при отыскиваемом неизвестном (ft-го столбца) столбцом свободных членов bi, Ьг,...,Ь„. Если D = 0, то система (2) либо не имеет ни одного решения, либо имеет бесконечное множество решений.
Если все bi = 0 (систему Л. у. называют в этом случае однородной), то при D ?± 0 решение системы (2) будет нулевым (т. е. все xi, = 0). В практике часто, однако, встречаются однородные системы Л. у. с числом уравнений на 1 меньше числа неизвестных, т. е. системы вида:
[1407-39.jpg]
Решение такой системы неоднозначно; из неё, как правило, можно найти только отношение неизвестных:
[1407-40.jpg]
где Dk - умноженный на (-1)* определитель, полученный из матрицы коэффициентов аи системы (3) вычёркиванием fe-ro столбца (это правило применимо только тогда, когда хотя бы один из определителей DI отличен от 0).
Впервые решение систем (2) было получено Г. Крамером в 1750; правило для нахождения решения этих систем носи! до сих пор название правила Крамера. Построение полной теории систем Л. у. было закончено только спустя 100 лет Л. Кронекером.
Общая система т Л. у. с n неизвестными имеет вид :
[1407-41.jpg]
Вопрос о совместности системы Л. у. (4), т. е. вопрос о существовании решения, решается сравнением рангов матриц
И[1407-42.jpg]
Если ранги совпадают, то система совместна; если ранг матрицы В больше ранга матрицы Л,то система несовместна (теорема Кронекера - Капелли). В случае совместности системы, её решения можно найти следующим образом. Найдя в матрице А отличный от нуля минор наибольшего порядка г, отбрасывают m - г уравнений, коэффициенты к-рых не вошли в этот минор (отбрасываемые уравнения будут следствиями оставшихся, и поэтому их можно не рассматривать); в оставшихся уравнениях переносят направо те неизвестные, коэффициенты к-рых не вошли в выбранный минор (свободные неизвестные). Придав свободным неизвестным любые числовые значения, получают систему из г уравнений с г неизвестными, к-рую можно решить по правилу Крамера. Найденные значения г неизвестных вместе со значениями свободных неизвестных дадут нек-рое ч а- с т н о е (т. е. одно из многих возможных) решение системы (4). Можно, не давая свободным неизвестным конкретных значений, непосредственно выразить через них остальные неизвестные. Так получается общее решение, т. е. решение, в к-ром неизвестные выражены через параметры; давая этим параметрам произвольные значения, можно получить все частные решения системы.
Однородные системы Л. у. можно решать таким же способом. Решения их обладают тем свойством, что сумма, разность и вообще любая линейная комбинация решений (рассматриваемых как п- мерные векторы) также будет решением системы. Другими словами: совокупность всех решений однородной системы Л. у. образует линейное подпространство n-мерного векторного пространства. Систему решений, к-рые сами линейно независимы и позволяют выразить любое другое решение в виде их линейной комбинации (т. е. базис линейного подпространства), называют фундаментальной системой решений однородной системы Л. у.
Между решениями системы Л. у. (4) и соответствующей однородной системы Л. у. (т. е. уравнений с теми же коэффициентами при неизвестных, но со свободными членами, равными нулю) существует простая связь: общее решение неоднородной системы получается из общего решения однородной системы прибавлением к нему к.-л. частного решения неоднородной системы Л, у.
Большой наглядности изложения в теории Л. у. можно добиться, используя геометрич. язык. Привлекая при этом к рассмотрению линейные операторы в векторных пространствах (рассматривая уравнения вида Ах = Ь, А - линейный оператор, х и Ь - векторы), легко установить связь рассматриваемых алгебраич. Л. у. с Л. у. в бесконечномерных пространствах (системы Л. у. с бесконечным числом неизвестных), в частности с Л. у. в функциональных пространствах, напр, линейные дифференциальные уравнения, линейные интегральные уравнения (см. Интегральные уравнения) и др.
Применение правила Крамера при практич. решении большого числа Л. у. может встретить значит, трудности, т. к. нахождение определителей высокого порядка связано со слишком большими вычислениями. Были поэтому разработаны различные методы численного (приближённого) решения систем Л. у. (см. Численное решение уравнении).
Лит.: Энциклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 2, М.- Л., 1951; Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н-, Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М.- Л., 1963.
ЛИНЕЙНО-ЛЕНТОЧНОЙ КЕРАМИКИ КУЛЬТУРА, археологич. культура эпохи раннего неолита (кон. 5 - нач. 4-го тыс. до н. э.), распространённая в Ср. Европе. Является частью дунайских культур. Характеризуется единообразной керамикой сферич. и полусфе- рич. форм, украшенной орнаментом из лент, состоящих из 2-3 углублённых линий (S-образные спирали, меандры). Линии иногда пересечены ямками ("нотная керамика"). Из орудий характерны колодкообразные топоры. Известны крупные поселения этой культуры: Кёлън-Линденталъ, Билани (Чехия), Флорешты (Мол д. ССР), состоящие из больших столбовых домов и землянок. Население занималось земледелием (пшеница, ячмень) и скотоводством (крупный и мелкий рог. скот, свиньи). Лит.: П а с с е к Т. С., Ч е р н ы ш Е. К., Памятники культуры линейно-ленточной керамики на территории СССР, М., 1963; Hoffman E., Die Kultur der Bandkeramik in Sachsen, Tl 1 - Die Keramik, В., 1963. В. С. Титов.
ЛИНЕЙНЫЕ ВОЙСКА, 1)в 18-19 вв. в армиях различных гос-в Л. в. наз. тяжёлую (линейную) пехоту, действовавшую в сомкнутом строю и наносившую гл. удар, в отличие от лёгкой пехоты, к-рая действовала в рассыпном строю и выполняла вспомогат. задачи. Линейной иногда наз. также тяжёлая кавалерия. 2) Войска в рус. армии, охранявшие гл. обр. пограничные укреплённые линии. Л. в. появились в 1804. К 1856 было 84 линейных батальона: 18 Грузинских, 16 Черноморских, 13 Кавказских, 12 Финляндских, 10 Оренбургских и 15 Сибирских. Все они (кроме Черноморских) сводились в пех. бригады (по 5-7 батальонов), а Финляндские, Оренбургские и Сибирские, кроме того, и в пех. дивизии. В 1858 Грузинские и Черноморские батальоны были переименованы в Кавказские, а в 1867 Оренбургские и часть Сибирских - в Туркестанские. К нач. 20 в. все линейные войска были переформированы в стрелковые и резервные. В 1832-60 существовало Кавказское линейное казачье войско.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, дифференциальные уравнения вида
[1407-43.jpg]
где у = у(х) - искомая функция, ут, г/'""1',...,;/'-её производные, а р\ (х), р2(х),...,р„(х) (коэффициенты) и f(x) (свободный член)-заданные функции (см. Дифференциальные уравнения). В уравнение (1) искомая функция у и её производные входят в 1-й степени, т. е. линейно, поэтому оно наз. линейным. Если f (х) = 0, то уравнение (1) наз. однородным, в противном случае - неоднородным. Общее решение г/0 = Уо(х) однородного Л. д. у. при условии непрерывности его коэффициентов pk (х) выражается формулой:
[1407-44.jpg]
где d, C2,..., Сп - произвольные постоянные и !/i(x), y-i (x),..., уп(х) - линейно независимые (см. Линейная зависимость) частные решения, образующие т. н. фундаментальную систему решений. Критерием линейной независимости решений служит неравенство нулю (хотя бы в одной точке) определителя Вроньского {вронскиана)'.
[1407-45.jpg]
Общее решение у = у(х) неоднородного Л. д. у. (1) имеет вид:
[1407-46.jpg]
где УН = уа(х) - общее решение соответствующего однородного Л. д. у. и Y = Y(x) - частное решение данного неоднородного Л. д. у. Функция Y(x) может быть найдена по формуле:
[1407-47.jpg]
где ун(х) - решения, составляющие фундаментальную систему решений однородного Л. д. у., и Wft(x) - алгебраическое дополнение элемента г/й'"^1'^) в определителе (2) Вроньского W(x).
Если коэффициенты уравнения (1) постоянны: рк(х) = at,(k = l,2,...,n), то общее решение однородного уравнения выражается формулой:
[1407-48.jpg]
где[1407-49.jpg]
корни т. н. характеристического [1407-50.jpg] уравнения:
nfe - кратности этих корней и С/", Dks - произвольные постоянные.
Пример. Для Л. д. у.[1407-51.jpg] характеристическое уравнение имеет вид: [1407-52.jpg] Его корнями являются числа:
[1407-53.jpg]
Следовательно, общее решение этого уравнения [1407-54.jpg] таково:
Системы Л. д. у. имеют вид:
[1407-55.jpg]
Общее решение однородной системы Л. д. у. [получаемой из системы (3), если все f-(x) = 0] даётся формулами:
[1407-56.jpg]
где уц, у}г ,..., yin-линейно независимые частные решения однородной системы (т. е. такие, что определитель \yik(x)\ ^0 хотя бы в одной точке).
В случае постоянных коэффициентов pilt(x) = Oji, частные решения однородной системы следует искать в виде:
[1407-57.jpg]
где AJ, - неопределённые коэффициенты, а \ь - корни характеристического уравнения
[1407-58.jpg]
и тли - кратность этих корней. Полный анализ всех возможных здесь случаев проводится с помощью теории элементарных делителей [см. Нормальная (жорданова) форма матриц]. Для решения Л. д. у. и систем Л. д. у. с постоянными коэффициентами применяются также методы операционного исчисления.
Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 2, 20 изд., М., 1967; т. 3, ч. 2, 8 изд., М., 1969; Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения,3 изд., М., 1970.
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, колебательные системы, свойства к-рых не изменяются при изменении их состояния, т. е. параметры Л. с., характеризующие её свойства (упругость, масса и коэфф. трения механич. системы; ёмкость, индуктивность и активное сопротивление электрич. системы), не зависят от величин, характеризующих состояние системы (от смещений и скоростей в случае механич. системы, напряжений и токов в случае электрич. системы). Параметры реальных систем всегда в той или иной степени зависят от их состояния, напр, коэфф. упругости пружины зависит от величины деформации (отклонения от закона Гука при больших деформациях), активное сопротивление проводника зависит от его темп-ры, к-рая, в свою очередь, зависит от силы протекающего по проводнику тока и т. д. Поэтому реальные системы можно рассматривать как Л. с. только в нек-рых ограниченных пределах изменений их состояния, при к-рых допустимо пренебречь изменениями их параметров. Для очень большого числа реальных систем эти пределы оказываются весьма широкими, поэтому большинство задач можно решать, рассматривая р |
