| 11652078 12288 3054 948 1и расположены спец. квадратные клетки (на схеме они обведены пунктиром). Все элементы матрицы, расположенные вне этих клеток, равны нулю. В каждой диагональной клетке вдоль главной диагонали повторяется одно и то же (комплексное) число (в первой клетке Л1, во второй Л2 и т. д.); параллельный ряд над главной диагональю состоит из единиц. Все же остальные элементы в диагональных клетках равны нулю. На приведённой схеме имеются три диагональные клетки, из к-рых первая имеет порядок 4, вторая и третья - порядок 2. В общем же случае число клеток и порядки их могут быть любыми. Среди чисел Л1, Л2, • • • возможны и равные. Исходная матрица А в указанном примере имеет след. элементарные делители: (Л-Л1)4, (Л-Л2)2, (Л-Л3)2. По элементарным делителям матрицы однозначно определяется её жорданова форма.
Если матрица Л имеет жорданову форму I, то существует неособенная матрица Т такая, что А = Т1Т-1. Замену матрицы А подобной ей матрицей I наз. приведением матрицы А к нормальной жордановой форме.
Представление о применениях жордановой формы матрицы можно получить на примере системы линейных дифференциальных ур-ний с постоянными коэффициентами:
[1809-9.jpg]
в матричной записи:
[1809-10.jpg]
Введём новые неизвестные функции y1, y2, . . ., уп при помощи неособенной матрицы Т = ||tik||n1 [tik, - числа (i, k = 1, 2, . . ., n)]:
[1809-11.jpg]
в матричной записи: х = Ту. Подставляя это выражение для х в (2), получим:
[1809-12.jpg]
где матрица I связана с матрицей Л равенством:
[1809-13.jpg]
Обычно матрицу Т подбирают так чтобы матрица А имела жорданову форму. В этом случае система ур-ний (3) значительно проще системы (2). Так, напр., при п = 8, если матрица А=||tik||81имеет жорданову форму (1), то система (3) будет иметь вид:
[1809-14.jpg]
Интегрирование такой системы сводится к многократному интегрированию одного дифференциального ур-ния. Лит. см. при ст. Матрица.
НОРМАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ пространственной кривой в данной её точке М - плоскость, проходящая через М перпендикулярно к касательной прямой в той же точке. Н. п. содержит все нормали к кривой, проходящие через данную точку. Если кривая задана в прямоугольных координатах ур-ниями х=f(t), у=g(t), z=h(t), то ур-ние Н. п. в точке М(хо,yо,zо), соответствующей значению tо параметра t, может быть написано в виде:
[1809-15.jpg]
НОРМАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ, производная, взятая от функции, заданной в пространстве (или на плоскости), по нормали к нек-рой поверхности (соответственно, линии, лежащей в той же плоскости). Пусть S - поверхность, Р - точка поверхности S, а функция f задана в нек-рой окрестности точки Р. Тогда Н. п. от f в точке Р равна пределу отношения разности f(A)-f(P) (где Л - точка нормали к поверхности S в точке Р, стремящаяся к Р с одной стороны S) к расстоянию от Л до Р (см. рис.). Смотря потому, с какой стороны А приближается к Р, различают производную от f по внешней и по внутренней нормали к S. Рассмотрение Н. п. особенно важно в теории краевых задач.
НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, одно из важнейших распределений вероятностей. Термин "Н. р." применяют как по отношению к распределениям вероятностей случайных величин, так и по отношению к совместным распределениям вероятностей нескольких случайных величин (т. е. к распределениям случайных векторов).
Распределение вероятностей случайной величины X наз. нормальным, если оно имеет плотность вероятности
[1809-16.jpg]
Семейство Н. р. (*) зависит, т. о., от двух параметров а и о. При этом математическое ожидание X равно а, дисперсия X равна б2. Кривая Н. р. у=р(х;а,б) симметрична относительно ординаты, проходящей через точку х = а, и имеет в этой точке_единственный максимум, равный 1/корень из 2Пи*б. С уменьшением б кривая Н. р. становится всё более и более островершинной (см. рис.). Изменение а при постоянном б не меняет форму кривой, а вызывает лишь её смещение по оси абсцисс.
Рис. Кривые плотности нормального распределения для различных значений параметров а и о: I. а = 0, ст = 2,5; 11. а = 0, a=l; III. а = 0, а =0,4; IV. а = 3, а = 1.
Площадь, заключённая под кривой Н. р., всегда равна единице. При а = 0, б = 1 соответств. функция распределения равна
[1809-17.jpg]
В общем случае функция распределения Н. р. (*) F (х; а, б) может быть вычислена по формуле F (х; а, б) = ф (t), где t = (х - а)/б. Для функции Ф (t) (и нескольких её производных) составлены обширные таблицы. Для Н. р. вероятность неравенства |Х - a|>kб, равная 1 - Ф (k) + Ф (-k), убывает весьма быстро с ростом k (см. табл.).
k
Вероятность
k
Вероятность
1
0,31731
3
0,00269
2
0,04550
4
0,00006
Во мн. практич. вопросах при рассмотрении Н. р. пренебрегают поэтому возможностью отклонений от а, превышающих За,- т. н. правило трёх сигма (соответствующая вероятность, как видно из табл., меньше 0,003). Вероятное отклонение для Н. р. равно 0,67449 ст.
Н. р. встречается в большом числе приложений. Издавна известны попытки объяснения этого обстоятельства. Теоретич. обоснование исключит, роли Н. р. дают предельные теоремы теории вероятностей (см. также Лапласа теорема, Ляпунова теорема). Качественно соответствующий результат может быть объяснён след, образом: Н. р. служит хорошим приближением каждый раз, когда рассматриваемая случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, максимальная из к-рых мала по сравнению со всей суммой.
Н. р. может появляться также как точное решение нек-рых задач (в рамках принятой математич. модели явления). Так обстоит дело в теории случайных процессов (в одной из осн. моделей броуновского движения). Классич. примеры возникновения Н. р. как точного принадлежат К. Гауссу (закон распределения ошибок наблюдения) и Дж. Максвеллу (закон распределения скоростей молекул).
Совместное распределение нескольких случайных величин X1, Х2, . . .,Хs, наз. нормальным (многомерным нормальным), если соответствующая плотность вероятности имеет вид:
[1809-18.jpg]
qk,l = ql,k - положительно определённая квадратичная форма. Постоянная С определяется из того условия, что интеграл от р по всему пространству равен 1. Параметры a1, . . ., asравны математич. ожиданиям X1, . . ., Xsсоответственно, а коэфф. qk,iмогут быть выражены через дисперсии б12, . . . .б2s этих величин и коэфф. корреляции рk,1между Xkи Xl. Общее количество параметров, задающих Н. р., равно
[1809-19.jpg]
и быстро растёт с ростом s (оно равно 2 при s = 1, 20 при s = 5 и 65 при 5 = = 10). Многомерное Н. р. служит основной моделью статистического анализа многомерного. Оно используется также в теории случайных процессов (где рассматривают также Н. р. в бесконечномерных пространствах).
О вопросах, связанных с оценкой параметров Н. р. по результатам наблюдений, см. статьи Малые выборки и Несмещённая оценка. О проверке гипотезы нормальности см. Непараметрические методы (в математической статистике). Лит. см. при ст. Распределения. Ю. В. Прохоров.
НОРМАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ поверхности S в данной её точке М - линия пересечения S с плоскостью, проведённой через нормаль в точке М. С помощью Н. с. изучается искривление поверхности S в различных (касательных) направлениях, выходящих из точки М. Среди этих направлений имеются два (взаимно перпендикулярных) т. н. главных направления, для к-рых нормальная кривизна (т. е. кривизна соответствующего Н. с.) достигает наибольшего и наименьшего значений k1 и k2(т. н. главные кривизны в данной точке); при этом кривизны Н. с. берутся со знаком + (или -), если направление вогнутости (см. Выпуклость и вогнутость) сечения совпадает (противоположно) с положит, направлением нормали к поверхности. Нормальные кривизны поверхности в произвольных направлениях весьма просто выражаются через главные кривизны. Именно, кривизна knH. с., проведённого в направлении, составляющем угол ф с первым из указанных выше главных направлений, связана с k1 и k2 соотношением (формула Эйлера):
[1809-20.jpg]
С помощью кривизн Н. с. изучаются также кривизны наклонных сечений поверхности. Именно, кривизна k наклонного сечения плоскостью a, проходящей через данную касательную прямую а, выражается формулой Менье:
[1809-21.jpg]
где ф - угол между плоскостью ос и нормалью к поверхности, kn - нормальная кривизна поверхности в направлении прямой а. См. также Дифференциальная геометрия, Поверхностей теория, Кривизна.
НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ, составляющая ускорения точки при криволинейном движении, направленная по главной нормали к траектории в сторону центра кривизны; Н. у. наз. также центростремительным ускорением. Численно Н. у. равно v2/p, где v - скорость точки, р - радиус кривизны траектории. При движении по окружности Н. у. может вычисляться по формуле rw2, где r - радиус окружности, w - угловая скорость вращения этого радиуса. В случае прямолинейного движения Н. у. равно нулю.
НОРМАЛЬНОСТЬ в химии, концентрация раствора, выраженная числом грамм-эквивалентов растворённого вещества, содержащегося в 1 л раствора. Способ выражения концентрации растворов через Н. широко используется в аналитич. химии. См. также Грамм-эквивалент и Концентрация.
НОРМАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ, собственные волны, гармонич. волны той или иной физич. природы (электромагнитные, упругие и др.), сохраняющие при своём прямолинейном распространении поперечную структуру поля и (или) поляризацию. Этим Н. в. отличаются от всех других волн, способных распространяться в данной системе. Напр., при распространении между параллельными металлич. плоскостями (рис. 1) электромагнитных Н. в. поперечная (по отношению к направлению распространения) структура электрич. поля Н. в. одинакова во всех сечениях. Поперечная же структура любых других волн, отличных от Н. в., при распространении не сохраняется. Так, форма волны, полученной в результате наложения двух Н. в., изображённых на рис. 1, в и о, меняется от сечения к сечению (рис. 1, в).
Наибольший практич. интерес представляют электромагнитные Н. в. в вол-новодных системах, используемых для передачи сообщений или электромагнитной энергии. К ним относятся радиоволноводы СВЧ, коаксиальные кабели, плазменные волноводы, ионосферные и тропосферные каналы дальней радиосвязи, световоды, выполненные в виде стеклянных волокон, т. н. квазиоптические линии передачи волн миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов и т. д.
Важные применения находят Н. в. в акустич. волноводных системах (акустич. трубы, звуковые каналы в океане и тропосфере), упругие Н. в.- в пластинах (волны Лэмба, т. н. поперечные Н. в.) и стержнях (продольные, изгибные и крутильные Н. в.). Упругие Н. в. применяются, в частности, для создания ультразвуковых линий задержки и для определения упругих и др. параметров твёрдых тел.
Число Н. в. N, способных распространяться в перечисленных выше системах, зависит от соотношения между длиной волны Л и поперечными размерами системы d. Для волн с фиксированной частотой это число всегда конечно, при этом чем больше отношение d/Л., тем больше N. На очень низких частотах (т. е. при d/Л << 1/2) может распространяться только одна Н. в. определённого типа, а в нек-рых системах, напр, в полых радиоволноводах, распространение низкочастотных Н. в. вообще невозможно. Фазовые и групповые скорости Н. в. разных типов отличаются друг от друга (этим, в частности, объясняется искажение поперечной структуры поля при наложении нескольких Н. в., рис. 1). Поэтому для передачи информации желательно использовать только один тип Н. в.
Рис. 1. Схема распространения двух нормальных волн а и о и волны в, полученной в результате их наложения. В сечениях 1 и 3 разность фаз нормальных волн ф=0 и они складываются, а в сечении 2 ф =-Пи и волна вычитается.
Физич. значение Н. в. определяется тем, что в области, свободной от источников, любое возмущение может быть представлено в виде суперпозиции Н. в., причём результирующий поток энергии (упругой или электромагнитной) равен сумме потоков во всех Н. в. В этом отношении понятие Н. |
