| . определяется тем или иным специальным способом (напр., окружность определяется как геометрич. место точек, имеющих заданное расстояние R от заданной точки О - центра окружности). Иногда в учебниках дают определение Л. как границы куска поверхности (поверхность определяется при этом как граница тела) или как траектории движущейся точки. Но в рамках элементарной геометрии эти определения не получают отчётливой формулировки.
2) Представление о Л. как траектории движущейся точки может быть сделано вполне строгим при помощи идеи параметрического представления Л. Напр., вводя на плоскости прямоугольные координаты (x, у), можно параметрически задать окружность радиуса R с центром в начале координат уравнениями
Когда параметр [1407-103.jpg] t пробегает отрезок О < t =S 2л, точка (x, у) описывает окружность. Вообще, Л. на плоскости задают параметрическими уравнениями вида
[1407-104.jpg]
где [1407-105.jpg] - произвольные функции., непрерывные на к.-н. конечном или бесконечном интервале Д числовой оси if. С каждым значением параметра t (из интервала Д) уравнения (*) сопоставляют нек-рую точку М, координаты к-рой определяются этими уравнениями. Л., заданная параметрически уравнениями (*), есть множество точек, соответствующих всевозможным значениям t из Д , при условии, что эти точки рассматриваются в определённом порядке, именно: если точка М\ соответствует значению параметра tt, а точка М2 - значению t2, то Mi считается предшествующей М2, если ti < ?2. При этом точки, отвечающие различным значениям параметра, всегда считаются различными.
Аналогично, в трёхмерном пространстве Л. задаётся параметрически тремя уравнениями вида
[1407-106.jpg]
где[1407-107.jpg] -произвольные функции, непрерывные на к.-н. интервале. В произвольном топологическом пространстве Т (к-рое, в частности, может быть плоскостью, поверхностью, обычным трёхмерным пространством, функциональным пространством и т. п.) Л. параметрически задают уравнением вида
[1407-108.jpg]
где <р - функция действительного переменного г, непрерывная на к.-л. интервале, значения к-рой суть точки пространства Т. Считают, что два параметрических представления задают о д- ну и ту же Л., если они определяют один и тот же порядок следования её точек (в смысле, указанном выше). В анализе и топологии рассматривают обычно случай, когда область изменения параметра t есть отрезок а -^ t < b. В этом случае условие того, чтобы два параметрич. представления
[1407-109.jpg]
изображали одну и ту же Л., заключается в существовании непрерывной и строго возрастающей функции
для к-рой[1407-110.jpg]
[1407-111.jpg]
Такое понимание термина "Л." наиболее естественно в большинстве вопросов анализа (напр., в теории криволинейных интегралов) и механики. Так как Л. здесь рассматривается вместе с порядком, в к-ром пробегает её точки переменная точка М при возрастании f, то при этом естественно возникает вопрос о числе прохождений переменной точки Л. через к.-л. точку пространства. Кроме простых точек, проходимых один раз, Л. может иметь кратные точки, к-рые проходятся несколько раз (отвечающие различным значениям параметра).
Напр., при изменении t в пределах [1407-112.jpg] точка с координатами
[1407-113.jpg]
описывает строфоиду (см. табл. 1, рис. 5), попадая в положение х = О, у = 0 два раза при t = - 1 и ? = + 1. 3) Из аналитич. геометрии известен и другой способ задания Л. на плоскости уравнением
[1407-114.jpg]
в пространстве - двумя уравнениями
[1407-115.jpg]
Ограничиваясь случаем плоскости, укажем лишь, как строится понятие алгебраической Л. (кривой)- Л., определяемой уравнением
где F(x, у) - целая [1407-116.jpg] алгебраическая функция, т. е. многочлен к.-л. степени п ^ 1. В этом случае считают, что два многочлена Fi(x, у) и F2(x, у) определяют одну и ту же алгебраич. Л. в том и только в том случае, когда существует такая постоянная с =^ 0, что выполняется тождественно соотношение
Таким ооразом, [1407-117.jpg] все многочлены, определяющие одну и ту же Л., имеют одну и ту же степень n, называемую порядком соответствующей Л. Напр., в аналитич. геометрии принято считать, что уравнение
определяет Л. [1407-118.jpg] второго порядка, а именно, дважды взятую прямую x - у = 0.
В связи с последним примером необходимо заметить, однако, что часто целесообразно ограничиваться рассмотрением неприводимых алгебраич. Л., т. е. таких Л., для к-рых многочлен не допускает представления F = GH, где G и Н - отличные от постоянных многочлены. Далее, в пункте 4, имеется в виду только этот случай.
Говорят, что точка (хо, г/0) кривой F(x, у) = 0 имеет кратность т, если разложение F(x, у) по степеням
[1407-119.jpg]начинается с членов степени т (по совокупности переменных [1407-120.jpg] ). В случае то = 2, т. е. в [1407-121.jpg] случае двойной точки где многоточие означает, что далее следуют члены высших порядков. При помощи дискриминанта [1407-122.jpg]можно определить тип двойной точки (см. Особые точки).
4) Часто, особенно при изучении алгебраич. Л., целесообразно стать на точку зрения комплексной проективной геометрии, т. е. рассматривать, наряду с точками евклидовой действительной плоскости (или пространства), точки бесконечно удалённые и мнимые. Только при таком подходе (и надлежащем учёте кратности пересечения) становится верным, напр., утверждение, что две Л. порядков п к т пересекаются в тп точках. В случае т = 1 это приводит к возможности определить порядок Л. как число n точек её пересечения с прямой.
С проективной точки зрения естественно задавать Л. на плоскости однородным уравнением [1407-123.jpg]
между однородными координатами xi, x2, xs её точек. В силу принципа двойственности с этим заданием равноправно задание Л. уравнением [1407-124.jpg]связывающим однородные координаты прямых, касающихся Л. Таким образом, наряду с порядком Л. (степенью уравнения F = 0) естественно возникает понятие класса Л.- степени уравнения Ф = 0. Класс алгебраич. Л. можно также определить как число касательных, к-рые можно провести к Л. из произвольной точки. О параметрич. представлении Л. см. также У пику реальные кривые.
5) Рассмотренные выше (в пунктах 2-4) уточнения и обобщения понятия Л. существенно связаны с соответствующим алгебраич. и аналитич. аппаратом. В отличие от этого, современная топология выдвинула задачу уточнения представления о Л. как о множестве точек, независимо от алгебраич. или аналитич. способов задания этого множества.
Если исходить из параметрич. задания Л. в виде непрерывной функции[1407-125.jpg] где t пробегает отрезок а ^ ? s; о, но интересоваться только полученным множеством точек без учёта порядка их следования, то приходят к понятию Л., сформулированному в 80-х гг. 19 в. К. Жорданом (см. Жордана кривая). Оказывается, что таким непрерывным образом отрезка может быть любой локально связный континуум, в частности квадрат, треугольник, куб и т. п. (см. Пеано кривая). Поэтому теперь обычно предпочитают говорить не о Л. в смысле Жордана, а о локально связных, или жор- дановых, континуумах. Взаимно однозначный непрерывный образ отрезка называют простой дугой, или жор- дановой дугой. Взаимно однозначный непрерывный образ окружности называют простой замкнутой Л. Простые дуги и простые замкнутые Л. не исчерпывают, однако, точечных множеств, заслуживающих наименования Л.
Избегая и чрезмерной общности, и чрезмерного сужения понятия Л., в современной топологии пользуются понятием Л., введённым в 1921 П. С. Уры- соном, к-рый определяет Л. (кривую) как произвольный континуум размерности единица. Континуум имеет размерность единица, если при любом Е > 0 он может быть представлен в виде суммы конечного числа замкнутых множеств диаметра, меньшего е, обладающих тем свойством, что никакие три из этих замкнутых множеств не имеют общей точки (см. также Размерность в геометрии). Континуум, лежащий на плоскости, будет Л. в смысле Урысона тогда и только тогда, когда он не содержит внутренних точек. Этим свойством характеризовал ранее (70-е гг. 19 в.) Л., лежащие на плоскости, Г. Кантор. Хотя определение Кантора применимо только к Л., лежащим на плоскости, иногда и общие Л. в смысле Урысона называют "канторовыми кривыми". Л. Н. Колмогоров.
6) Ещё математики древности изучали линии второго порядка (эллипс, гиперболу и параболу). Ими же был рассмотрен ряд отдельных замечательных алгебраич. Л. более высокого порядка, а также нек-рые трансцендентные (неалгебраические) Л. Система- тич. изучение Л. и их классификация стали возможными с созданием аналитической геометрии (Р. Декарт).
Из Л. третьего порядка наиболее известны: Декартов лист (табл. 1, рис. 1). Ур-ние в прямоугольных координатах: x3 + У3 - Заху = 0. Впервые кривая определяется в письме Р. Декарта к П. Ферма в 1638. Полная форма кривой с наличием асимптоты, проходящей через точки (-а, 0) и (0, -а), была определена позднее (1692) X. Гюйгенсом и И. Бер- нулли. Название "декартов лист" установилось в нач. 18 в. Локон Аньези (табл. 1, рис. 2). Пусть имеется круг с диаметром ОС=а и отрезок BDM, построенный так, что Алгебраические кривые третьего порядка: / - декартов лист; 2 - локон Аньези; 3 - кубическая парабола; 4 - полукубическая парабола: 5 - строфоида; 6 - циссоида Диоклеса OB : BD = ОС : ВМ; геометрическое место точек М представляет собой локон Аньези (или верзиеру). Ур-ние в прямоугольных координатах: у = = а3/(а2 + x2). Исследование этой Л. связано с именем итал. женщины-математика Марии Аньези (1748). Кубическая парабола (табл. 1, рис. 3). Ур-ние в прямоугольных координатах: у - x3. Полукубическая парабола (табл. 1, рис. 4), парабола Н е и л я. Ур-ние в прямоугольных координатах: [1407-126.jpg] Названа по имени англ, математика У. Нейля (1657), нашедшего длину её дуги.
Строфоида (от греч. strophes - кручёная лента и eidos - вид) (табл. 1, рис. 5). Пусть имеется неподвижная прямая АВ и точка С вне её на расстоянии СО = а; вокруг С вращается прямая, пересекающая АВ в переменной точке N. Если от точки N отложить по обе стороны прямой АВ отрезки NM = NM' = NO, то геометрическое место точек М и М' для всех положений вращающегося луча CN и есть строфоида. Уравнение в прямоугольных координатах: [1407-127.jpg] в полярных координатах: [1407-128.jpg] Впервые строфоиду исследовал Э.Торричелли (1645), название было введено в сер. 19 в. Циссоида Диоклеса (табл. 1, рис. 6) (греч. kissoeides, от kissos - плющ и eidos - вид), геометрическое место точек М, для к-рых ОМ = PQ (Р - произвольная точка производящего круга с диаметром а). Уравнение в прямоугольных координатах: у2 - = л;3/(а-х); в полярных координатах: р = a sin2cp/cos(p. Древние греки рассматривали только ту часть циссоиды, к-рая находится внутри производящего круга. Вместе с дугой окружности эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща (откуда название); наличие бесконечных ветвей было установлено в 17 в. франц. математиком Ж. П. Ро- бервалем и независимо от него белы, математиком Р. Ф. Слгозом.
Из Л. четвёртого и более высоких порядков наиболее известны: Кардиоида (от греч. kardi'a - сердце и eidos - вид) (табл. 2, рис. 1), кривая, описываемая к.-л. точкой М окружности радиуса а, катящейся без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса. Ур-ние в прямоугольных координатах: (x2 + у2 - 2ax)2 = = 4а (х2 + у2); в полярных координатах: р = 2й (1 + cos ф).
Конхоида Ником еда (от греч. konchoeides - похожий на раковину) (табл. 2, рис. 2), кривая, получающаяся при увеличении или уменьшении каждого радиус-вектора точек данной прямой на одну и ту же величину d, т. о., ОМ = ОР - d или ОЛ-Г = ОР+ d. Если расстояние от полюса О до данной прямой равно а, то ур-ние в прямоугольных координатах: (х-а)2 (x2 + z/2)-d2x2 = = 0, в полярных координатах: р = = а/cos ф ± d. Впервые рассматривалась древнегреческим геометром Нико- медом (около 250-150 до нашей эры), который использовал её для решения задач о трисекции угла и удвоении куба.
Лемниската Бернулли (табл. 2, рис. 3)(от naT.lemniscatus, буквально- украшенный лентами) |
