| 11652078 12288 3054 948 1тич. обмен становится полностью неопределённым). Соотношение Et>= h справедливо также, если под Е понимать неопределённость значения энергии нестационарного состояния замкнутой системы, а под t - характерное время, в течение к-рого существенно меняются ср. значения физ. величин в этой системе.
H. с. для энергии и времени приводит к важным выводам относительно возбуждённых состояний атомов, молекул, ядер. Такие состояния нестабильны, и из H. с. вытекает, что энергии возбуждённых уровней не могут быть строго определёнными, т. е. обладают нек-рой шириной (т. н. естественная ширина уровня). Если t - ср. время жизни возбуждённого состояния, то ширина его энергетич. уровня (неопределённость энергии состояния) составляет E= h/t. Др. примером служит альфа-распад радиоактивного ядра: энергетич. разброс Eиспускаемых -частиц связан с временем жизни такого ядра соотношением E=h/.
Лит.: Гейзенберг В., Ш р е д и нгер Э., Дирак П., Современная квантовая механика, пер. с англ., М.- Л., 1934; Дирак П., Принципы квантовой механики, пер. с англ., M., 1960; Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, 3 изд., M , 1961; Мандельштам Л. И., T а м м И. E., Соотношение неопределенности энергия - время в нерелятивистской квантовой механике, в кн.: Мандельштам Л. И., Поли. собр. трудов, т. 2, М.- Л., 1947, с. 306; Крылов H. С., Ф о к В. А., О двух основных толкованиях соотношения неопределенности для энергии в времени, "Журнал экспериментальной и теоретической физики", 1947, т. 17, в. 2, с. 93. О. И. Завьялов.
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ в математике, выражения, предел к-рых не может быть найден путём непосредств. применения теорем о пределах. Типы H. в.:
[1732-4.jpg]
где е = 2,71828...- неперово число. Указанные типы H.в. символически обозначают так: 1) 0/0, 2)oo/oo, 3)0·oo, 4)oo - oo, 5) 1°°, 6)0°, 7)oo°. Следует отметить, что данная функция может являться H. в. при одних значениях аргумента и не являться таковым при других (напр., выражение (sin x)/x при x-> не является H. в.). Не всякое H. в. имеет предел; так, выражение
[1732-5.jpg]
при х->0 не стремится ни к какому пределу
[1732-6.jpg][1732-7.jpg]
не существует).
Нахождение предела H. в. (в случае, когда он существует) наз. иногда "раскрытием неопределённости", или нахождением "истинного значения" H. в. (второй термин устарел). Оно часто основывается на замене данной функции другой, имеющей тот же предел, но не являющейся уже H. в. Иногда такая замена достигается путём алгебраич. преобразований.
Так, напр., сокращая в выражении
[1732-8.jpg]
числитель и знаменатель на 1-х,
[1732-9.jpg]
поэтому
[1732-10.jpg]
Для вычисления пределов H. в. типов 1) и 2) часто оказы-вается полезной теорема (или правило) Лопиталя, утверждающая, что в этих случаях
[1732-11.jpg]
если f(x) и g(х) дифференцируемы в окрестности (конечной или бесконечно удалённой) точки x0, за возможным исключением самой точки x0, и второй предел существует. Пользуясь этой теоремой, находим, напр., что
[1732-12.jpg]
Иногда f'(x)/g'(x)- вновь является H. в. вида 1)или 2); тогда теорема Лопиталя может быть применена (при выполнении её условий) ещё раз и т. д. Однако это не всегда приводит к цели; напр., применение теоремы Лопиталя к H. в.
[1732-13.jpg]
[f(x)=еx-е-x, g(x)= еx-е-x],при ничего не даёт. Может также случиться,
[1732-14.jpg]
не существует, тогда как
[1732-15.jpg]
типа 1) или 2) всё же существует; пример:
[1732-16.jpg][1732-17.jpg]
не существует. Мощным средством нахождения пределов H. в. является разложение функций в ряды. Напр., так как
[1732-18.jpg][1732-19.jpg]
H. в. видов 3)-7) могут быть сведены к одному из видов 1) или 2). Так, напр., при x->/2 Н. в.
[1732-20.jpg]
вида 4) преобразуется к виду 1):
[1732-21.jpg]
а последнее H. в. имеет предал 0; H. в. вида 3) приводится к H. в. вида 1) или 2) преобразованием f(x)g(x) =f(x)/h(x), или g(x)/k(x), где h(x)=1/g(x), k(x)=1/f(x)
Наконец, если через и(х) обозначить логарифм H. в. видов 5), 6) и 7): u(x)=g(x)lnf(x), то и(х) является H. в. вида 3), к-рое, как указано, сводится к H. в. вида 1) или 2). Так как {f(x)}g(x) =еu(x), то, найдя предел и(х) (если он существует), можно найти и предел данного H. в. Напр., для хxпри x->0 имеем
[1732-22.jpg]
и, следовательно,
[1732-23.jpg]
Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, M., 1971; К у д р я в ц е в Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1, М.„ 1973.
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ, общее выражение первообразной для подынтегральной функции fix); обознача-
[1732-24.jpg]
Напр.,
[1732-25.jpg]
См. Интегральное исчисление.
НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ МЕТОД, метод, применяемый в математике для отыскания коэффициентов выражений, вид к-рых заранее известен. Так, напр., на основании теоретич. соображений дробь
[1733-23.jpg]
может быть представлена в виде суммы
[1733-24.jpg]
где А, В и С - коэффициенты, подлежащие определению. Чтобы найти их, приравнивают второе выражение первому:
[1733-25.jpg]
и, освобождаясь от знаменателя и собирая слева члены с одинаковыми степенями х, получают: (A+B+C)x2 +(B-C)x-A=3x2-1
T. к. последнее равенство должно выполняться для всех значений х, то коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева должны быть одинаковыми. Т.о., получаются три уравнения для определения трёх неизвестных коэффициентов: А + В + С = 3, B-C=O, A = 1, откуда A=B=C = 1. Следовательно,
[1733-26.jpg]
справедливость этого равенства легко проверить непосредственно.
Пусть ещё нужно представить дробь
[1733-27.jpg]
в виде
[1733-28.jpg]
где A, B, C и D- неизвестные рациональные коэффициенты. Приравниваем второе выражение первому
[1733-29.jpg]
или, освобождаясь от знаменателя, вынося, где можно, рациональные множители из-под знака корней и приводя подобные члены в левой части, получаем:
[1733-30.jpg]
Но такое равенство возможно лишь в случае, когда равны между собой рациональные слагаемые обеих частей и коэффициенты при одинаковых радикалах. T. о., получаются четыре уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов А, В, С и D: А - 2В + 3C = 1, -А+В+3D=1, А+С-2D = -1, В-С+D=0, откуда А = О, В = -1/2, С = 0, D = 1/2, т. е.
[1733-31.jpg]
B приведенных примерах успех H. к. м. зависел от правильного выбора выражений, коэффициенты к-рых отыскивались. Если бы в последнем примере вместо выражения
[1733-32.jpg][1733-33.jpg]
было взято выражение
[1733-34.jpg][1733-35.jpg]
то, рассуждая, как и выше, получили бы для трёх коэффициентов А, В и С четыре уравнения А -2B + 3C = 1, -А-В=1, А+С=-1, В-C=0, к-рым нельзя удовлетворить никаким выбором чисел А, В и С. Особенно важны применения H. к. м. к задачам, в к-рых число неизвестных коэффициентов бесконечно. К ним относятся задача деления степных рядов, задача нахождения решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда и др. Пусть, напр., нужно найти решение дифференциального уравнения у" + ху = О такое, что у = 0 и у' = 1 при х = О. Из теории дифференциальных уравнений следует, что такое решение существует и имеет вид степенного ряда
y =x + C2x2 + C3x3 + C4x4 + C5x5 +···.
Подставляя это выражение вместо у в правую часть уравнения, а вместо у" - выражение
2с2 + 3 · 2c3x + 4 · 3c4x2 + 5 · 4c5x3 +· · · ,
затем умножая на x и соединяя члены с одинаковыми степенями х, получают
2с2 + 3 · 2с3х + ( 1 + 4 · 3c4x2 +(c2+5·4c5)x3+...=0
откуда при определении неизвестных коэффициентов получается бесконечная система уравнений: 2с2 = О; 3·2с3 = О; 1 + 4· 3с4 =0; C2 + 5· 4с5 = О; ...
Решая последовательно эти уравнения, находят:
[1733-36.jpg]
Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 1, 23 изд., M., 1974; т. 2, 20 изд., M., 1967; Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., M., 1959.
1731.htm
НЕМЕЦКИЙ ЯЗЫК, язык немцев, живущих в ФРГ (56 млн. чел.), в ГДР (17 млн. чел.), Зап. Берлине (2,1 млн. чел.), австрийцев (ок. 7 млн. чел.) (1970, оценка) и части швейцарцев. Один из двух офиц. языков Люксембурга. Отд. р-ны с населением, говорящим на H. я., имеются в СССР, США и нек-рых др. странах. Всего на H. я. говорит св. 85 млн. чел. Относится к зап.-герм, группе индоевропейских языков. В основу H. я. легли близкородств. племенные диалекты франков, алеманнов и баварцев. История H. я. делится на 3 периода: древневерхненем. (8-11 вв.), средне-верхненем. (12-13 вв.), ранненововерх-ненем. (14-16 вв.) и нововерхненем. (с 17 в.). С 8 в. существует письменность на основе лат. графики. Лит-ра того периода носит преим. клерикальный характер. В письменном древневерхненем. языке отражены особенности разных зап.-герм, диалектов. Общий лит. яз. отсутствовал.
Средневерхненем. период представлен значит, числом памятников клерикальной и светской лит-ры. Рыцарская поэзия 12-13 вв. обнаруживает тенденцию к унификации языка нем. народности на алеманнско-восточнофранкской основе. В 15 в. наддиалектные тенденции проявляются в разных локальных типах языка, особенно в аугсбургском лит. варианте (Gemeindeutsch). B результате колонизации слав, и литов. земель к В. от Эльбы терр. распространения H. я. расширяется и формируются смешанные вост.-средненем. колониальные диалекты. С 14 в. H. я. проникает в разные виды деловой письменности. Основой языковой консолидации, протекавшей замедленно из-за феод, раздробленности, послужил письменный лит. яз. вост.-средненем. района. Со 2-й пол. 15 в. большую роль в унификации нац. лит. языка играет книгопечатание (И. Гутенберг). В 16 в. Реформация и Крестьянская война ещё более усиливают эти процессы; значит, влияние оказывает на них перевод M. Лютером на H. я. Библии. Лит. нормы вост.-средненем. типа распространяются на С. Германии, а также воздействуют на язык юга (Австрия, Бавария, Швейцария) и запада. В 18 - нач. 19 вв. нормализационные процессы протекают под воздействием периодич. печати и классич. нем. лит-ры. В кон. 19 в. (в значит, степени искусственно) создаются нормы литературного, т. н. сценического произношения (Buhnen-deutsch).
Основу фонологии, системы совр. нем. лит. языка составляют 16 гласных фонем (7 долгих закрытых и 7 кратких открытых а, е, i, о, о, и, и, долгий открытый [:] и редуцированный [э]), 3 дифтонга [ае, ао, 00], 19 согласных фонем и 2 аффрикаты [pf, ts]. Гласные в начале слова или корня произносятся с твёрдым приступом ['aof], глухие согласные р, t, k - с придыханием. Звонкие согласные в исходе слога или слова оглушаются. Нет противопоставления согласных по твёрдости-мягкости. Морфологич. особенности: синтетич. и аналитич. способы выражения грамматич. категорий; в системе имён - категория рода (муж., жен. и ср.), числа (ед., MH.), падежа (именит., родит., дат., винит.). Показателями рода служат артикль (иногда словообразоват. суффикс), числа - формообразующий суффикс и артикль, падежа существительного - артикль, в отд. случаях также - окончание. Систему спряжения образуют формы лица и числа: имеется 6 времён, 3 наклонения, 2 залога, 2 осн. типа спряжения - т. н. слабый, с использованием формообразующих суффиксов (продуктивный тип), и сильный, с формообразованием по аблауту (закрытый список глаголов). Для существительного характерно словосложение (VoIkerfreundschaft, Volkseigentum). Синтак-сич. особенности: преобладает глагольный тип предложения; место личной формы глагола фиксировано. Неличная часть сказуемого обычно занимает в самостоят, предложении последнее место (образуя с личной формой т. н. рамочную конструкцию), а в придаточном предложении - предпоследнее место. Адъективное определение также заключено в рамку, образуемую существительным и артиклем. Совр. нем. лит. язык ГДР, ФРГ, Австрии и Швейцарии имеет нек-рые нормативные различия, преим. в лексике и произно |
