|
2,86
2,76
Пример. Для определения массы нек-рого тела произведено 10 независимых равноточных взвешиваний, давших результаты Yi (в г):
Yi
18,41
18,42
18,43
18,44
18,45
18,46
ni
1
3
3
1
1
1
(здесь ni - число случаев, в к-рых наблюдался вес Yi, причём n = ni = 10). Так как все взвешивания равноточные, то следует положить i = ni и в качестве оценки для неизвестного веса выбрать величину Y = niYi/ni = 18,431. Задавая, напр., I9 = 0,95, по таблицам распределения Стьюдента с девятью степенями свободы можно найти, что t = 2,262, и поэтому в качестве предельной абс. погрешности приближенного равенства ~ 18,431 следует принять величину
[1715-8.jpg]
Случаи нескольких неизвестных (линейные связи). Пусть n результатов измерений Y1, Y2,..., Yn связаны с т неизвестными величинами x1, x2,..., xm (т < п) независимыми линейными отношениями
[1715-9.jpg]
где аij - известные коэффициенты, а ? - независимые случайные ошибки измерений. Требуется оценить неизвестные величины xj(эту задачу можно рассматривать как обобщение предыдущей, в к-рой = x1 и т = аi1 = 1; i = 1,2,...,п).
Так как Еi= О, то средние значения результатов измерений yi = EYiсвязаны с неизвестными величинами x1, x2,..., xm линейными уравнениями (линейные связи):
[1715-10.jpg]
Следовательно, искомые величины xjпредставляют собой решение системы (4), уравнения к-рой предполагаются совместными. Точные значения измеряемых величин уi и случайные ошибки ? обычно неизвестны, поэтому вместо систем (3) и (4) принято записывать т. н. условные уравнения
[1715-11.jpg]
Согласно H. к. м., в качестве оценок для неизвестных xj применяют такие величины xj, для к-рых сумма квадратов отклонений
[1715-12.jpg]
будет наименьшей (как и в предыдущем случае,i - вес измерения Yi - величина, обратно пропорциональная дисперсии случайной ошибки i). Условные уравнения, как правило, несовместны, т. е. при любых значениях Xjразности
[1715-13.jpg]
не могут, вообще говоря, все обратиться в нуль, и в этом случае S = i2i также не может обратиться в нуль. H. к. м. предписывает в качестве оценок выбрать такие значения Xj, к-рые минимизируют сумму S. В тех исключительных случаях, когда условные ур-ния совместны и, значит, обладают решением, это решение совпадает с оценками, полученными согласно H. к. м.
Сумма квадратов S представляет собой квадратичный многочлен относительно переменных Xj; этот многочлен достигает минимума при таких значениях X1, X2,..., Xm, при которых обращаются в нуль все первые частные производные:
[1715-14.jpg]
Отсюда следует, что оценки Xj, полученные согласно H. к. м., должны удовлетворять системе т. н. нормальных уравнений, к-рая в обозначениях, предложенных Гауссом, имеет вид:
[1715-15.jpg]
Оценки Xj, получающиеся в результате решения системы нормальных уравнений, лишены систематич. ошибок (EXj = xj); дисперсии DXj величин Xjравны kdjj/d, где d - определитель системы (5), а djj - минор, соответствующий диагональному элементу [ajaj] (иными словами, djj/d - вес оценки Xj). Если множитель пропорциональности k (k наз. дисперсией на единицу веса) заранее неизвестен, то для его оценки, а также для оценки дисперсии DX, служат формулы: (S - минимальное значение исходной суммы квадратов). При нек-рых общих
[1715-16.jpg]
предположениях можно показать, что если количество наблюдений n достаточно велико, то абс. погрешность приближённого равенства xj ~ Xj меньше tsj с вероятностью, близкой к значению интеграла (1). Если случайные ошибки наблюдении ? подчиняются нормальному распределению, то все отношения (Xj - xj)/sj распределены по закону Стьюдента с n- т степенями свободы [точная оценка абс. погрешности приближённого равенства производится здесь с помощью интеграла (2) так же, как в случае одного неизвестного]. Кроме того, минимальное значение суммы S в вероятностном смысле не зависит от X1, Х2,..., Xm и поэтому приближённые значения дисперсий оценок DXj ~ s2j
не зависят от самих оценок Xj.
Один из наиболее типичных случаев применения H. к. м. - "выравнивание" таких результатов наблюдений Yi, для к-рых в уравнениях (3) аij = aj (ti), где aj (t) - известные функции нек-рого параметра t (если t - время, то t1, t2,...- те моменты времени, в к-рые производились наблюдения). Особенно часто встречается в приложениях случай т. н. параболич. интерполяции, когда aj (t)- многочлены [напр., a1 (t) = 1, a2 (t) = t, а3 (t) = t2, ...и т. д.]; если t2 - t1 = t3 - t2 =...= tn - tn-1, a наблюдения равноточные, то для вычисления оценок Xj можно воспользоваться таблицами ортогональных многочленов, имеющимися во многих руководствах по современной вычислительной математике. Другой важный для приложения случай - т. н. гармонич. интерполяция, когда в качестве aj(t) выбирают триго-нометрич. функции [напр., aj (t)= cos(j-1)t,j = 1,2,..., т].
Пример. Для оценки точности одного из методов хим. анализа этим методом определялась концентрация CaO в десяти эталонных пробах заранее известного состава. Результаты равноточных наблюдений указаны в таблице (i - номер эксперимента, ti - истинная концентрация CaO, Ti - концентрация CaO, определённая в результате химического анализа, Yi = Ti - ti - ошибка химического анализа):
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ti
4
8
12,5
16
20
25
31
36
40
40
Yi
-0,3
-0,2
-0,4
-0,4
-0,2
-0,5
+ 0,1
-0,5
-0,6
-0,5
Если результаты хим. анализа не имеют систематич. ошибок, то ЕYi = О. Если же такие ошибки имеются, то в первом приближении их можно представить в виде: ЕYi = + t?( наз. постоянной ошибкой, а t?- методич. ошибкой) или, что то же самое,
[1715-17.jpg]
Для отыскания оценок и достаточно оценить коэффициенты х1= + t и x2 = . Условные уравнения в данном случае имеют вид:
Yi = x1 + x2 (ti - t), ? = 1,2,..., 10, поэтому ai1 = 1, ai2 = ti - t (согласно предположению о равноточности наблюдений, всеi = 1). Так как [a1a2] = [a2ai]= (ti - t) =0, то система нормальных уравнений записывается
[1715-18.jpg]
Дисперсии компонент решения этой системы суть
[1715-19.jpg]
где k - неизвестная дисперсия на единицу веса (в данном случае k - дисперсия любой из величин Yi). T. к. в этом примере компоненты решения принимают значения X1 = - 0,35 и X2 = - 0,00524, то
[1715-20.jpg]
Если случайные ошибки наблюдений подчиняются нормальному распределению, то отношения |Xj - xj|sj (j = 1,2) распределены по закону Стьюдента. В частности, если результаты наблюдений лишены систематич. ошибок, o x1 = x1=2 и значит закону Стьюдента должны подчиняться отношения |X1|/s1 и |X2|/s2. С помощью таблиц распределения Стьюдента с n - т = 8 степенями свободы можно убедиться, что если действительно x1 = x2 = 0, то с вероятностью 0,999 каждое из этих отношений не должно превосходить 5,04 и с вероятностью 0,95 не должно превосходить 2,31. В данном случае |X1|/s1 = 5,38 > 5,04, поэтому гипотезу отсутствия систематич. ошибок целесообразно отвергнуть; в то же время следует признать, что гипотеза об отсутствии методич. ошибки (x2 = О) не противоречит результатам наблюдений, так как |X2|/s2 = 1,004 < 2,31. T. о., можно заключит, что для определения t по результату наблюдения T целесообразно пользоваться приближённой формулой t = T + 0,35.
Во многих практически важных случаях (и в частности, при оценке сложных нелинейных связей) количество неизвестных параметров бывает весьма большим и поэтому реализация H. к. м. оказывается эффективной лишь при использовании современной вычислительной техники.
Лит.: Марков А. А., Исчисление вероятностей, 4 изд., M., 1924; Колмогоров A. H., К обоснованию метода наименьших квадратов, "Успехи математических наук", 1946, т. 1, в. 1; Л и н н и к Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы ма-тематико-статистической теории обработки наблюдений, 2 изд., M., 1962; Helmert F. R., Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate..., 2 Aufl., Lpz., 1907. Л. H. Большее.
1714.htm
НАВЬЕ - CTOKCA УРАВНЕНИЯ, дифференциальные ур-ния движения вязкой жидкости (газа). Названы по имени Л. Навье и Дж. Стокса. Для несжимаемой (плотность = const) и ненагреваемой (темп-pa T = const) жидкости H.-С. у. в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат (система трёх ур-ний) имеют вид:
[1714-1.jpg]
Здесь t - время, х, у, z - координаты жидкой частицы, vх, vu, vz - проекции её скорости, X, Y, Z - проекции объёмной силы, - давление, = / - кине-матич. коэфф. вязкости ( - динамич. коэфф.вязкости),
[1714-2.jpg]
Два других ур-ния получаются заменой х на у, у на z и z на х. H.- С. у. служат для определения vx, vy, vz, как функций х, у, z, t. Чтобы замкнуть систему, к ур-ниям (1) присоединяют ур-ние неразрывности, имеющее для несжимаемой жидкости вид:
[1714-3.jpg]
Для интегрирования ур-ний (1), (2) требуется задать начальные (если движение не является стационарным) и граничные условия, к-рыми для вязкой жидкости являются условия прилипания к твёрдым стенкам. В общем случае (движение сжимаемой и нагреваемой жидкости) в H.-С. у. учитывается ещё переменность и зависимость от темп-ры, что изменяет вид ур-ний. При этом дополнительно используются ур-ние баланса энергии и Клапейрона уравнение.
H.- С. у. применяют при изучении движений реальных жидкостей и газов, причём в большинстве конкретных задач ограничиваются отысканием тех или иных приближённых решений.
Лит. см. при ст. Гидроаэромеханика.
С. M. Торг.
НАВЯЗЧИВЫЕ ЯВЛЕНИЯ, навязчивые состояния, а н а н к а змы, обсессии, идеи, воспоминания, страхи, влечения, возникающие у человека упорно, неодолимо, зачастую тягостные для личности, не сопровождающиеся утратой принадлежности к своему "Я"; навязчивыми могут быть и действия. H. я. наблюдаются при неврозах и др. заболеваниях, а также и у здоровых людей при переутомлении и т. п. Больной осознаёт болезненный характер этих явлений, критически к ним относится и стремится избавиться от них. В этом состоит отличие H. я. от бреда, подчиняющего себе личность безоговорочно. Из H. я. наиболее часто наблюдаются бесплодные рассужд |
