| 11652078 12288 3054 948 1разимые через низе).
Системы М. л. могут быть интерпретированы в терминах многозначной логики (простейшие системы - как трёхзначные: "истина", "ложь", "возможно"). Это обстоятельство, а также возможность применения М. л. к построению теории "правдоподобных" выводов указывают^ на её глубокое родство с вероятностной логикой.
Кроме рассматривавшихся выше "абсолютных" модальностей, в М. л. приходится иметь дело с т. н. относительными, т. е. связанными с к.-л. условиями ("Л возможно, если В", и т. п.); формализация правил обращения с ними не вызывает дополнит, трудностей и проводится с помощью аппарата ограниченных кванторов (с использованием предикатов, выражающих ограничит, условия, и логические операции материальной импликации).
Ю. А, Гостев.
МОДАЛЬНОСТЬ (от лат. modus - мера, способ), способ существования к.-л. объекта или протекания к.-л. явления (онтологическая М.) или же способ понимания, суждения об объекте, явлении или событии (гносеологическая, или логическая М.). Понятие М., введённое по существу ещё Аристотелем, перешло затем в клас-сич. фил ос. системы. Слова (термины), выражающие различные модальные по* нятия, являются предметом рассмотрения и изучения лингвистики (см. Модальность в языкознании). Различие суждений по М., разрабатывавшееся в антич. логике учениками и комментаторами Аристотеля Теофрастом, Евдемом Родосским и др., уточнялось далее средневековыми схоластами. В логике и философии нового времени стало традиционным предложенное И. Кантом подразделение суждений на ассерторические (суждения действительности), аподиктические (суждения необходимости) и проблематические (суждения возможности); общепринятое следование суждения "происходит Л" из "необходимо А" и суждения "возможно А" из "происходит Л" стало основой разработки М. в совр. формальной (математической) логике. При этом М., относящиеся к высказываниям или предикатам, наз. а л е т и ч е-с к и м и, а М., относящиеся к словам, выражающим действия и поступки,-деонтическими. М. делятся далее на абсолютные (безусловные) и относительные (условные) согласно обычному смыслу данных терминов. В совр. модальной логике и логической семантике к М. причисляются иногда понятия "истинно" и "ложно", а также "доказуемо", "недоказуемо" и "опровержимо".
Ю. А. Гастев.
МОДАЛЬНОСТЬ в языкознании, понятийная категория, выражающая отношение говорящего к содержанию высказывания, целевую установку речи, отношение содержания высказывания к действительности. М. может иметь значение утверждения, приказания, пожелания, допущения, достоверности, ирреальности и др. М. выражается различными грамматич. и лексич. средствами: спец. формами наклонений; модальными глаголами (напр., рус.: "может", "должен"; нем.: sollen, konnen, wollen и др.); др. модальными словами (напр., рус.: «кажется», «пожалуй»; англ.: perhaps, likely); интонационными средствами. Различные языки грамматически по-разному выражают разные значения М. Так, англ, язык выражает значение ирреальной М. при помощи спец. наклонения (т. н. Subjunctive II, напр.: If you had come in time we should have been able to catch the train), в ягнобском языке формы настояще-будущего времени могут иметь модальные оттенки косвенного приказания, приглашения к действию, решимости сделать что-либо, допущения и др.
МОДЕЛЕЙ ТЕОРИЯ, раздел математики, возникший при применении методов математич. логики в алгебре. Ко 2-й пол. 20 в. М. т. оформилась в самостоят, дисциплину, методы и результаты к-рой находят применение как в алгебре, так и в др. разделах математики.
Осн. понятия М. т. - понятия алгебраич. системы, формализованного языка, истинности высказывания рассматриваемого языка в данной алгебраич. системе. Типичным примером алгебраич. системы является система натуральных чисел вместе с операциями сложения и умножения, отношением порядка и выделенными элементами 0,1. Простейшие высказывания об этой системе - выска-
[1629-2.jpg]
и, значит, получается из простейших при помощи пропозициональных связок и кванторов.
В общем случае под алгебраической системой понимается непустое множество вместе с заданными на этом множестве совокупностями отношений и операций от конечного числа аргументов. Эти операции и отношения наз. основными в алгебраич. системе. Каждой такой операции и каждому такому отношению ставится в соответствие
[1629-3.jpg]
пропозициональные связки и кванторы (см. ниже); набора символов, наз. предметными переменными, а также скобок и запятой. При этом каждому символу отношения или операции приписывается натуральное число, наз. местностью этого символа; оно равно числу аргументов той операции или того отношения, к-рым соответствует рассматриваемый символ. В число символов отношений включается специальный символ = для отношения равенства. Индуктивно определяются понятия терма и формулы. Предметные переменные являются термами.
[1629-4.jpg][1629-5.jpg]
Более сложные формулы получаются из простейших с помощью конечного числа связываний их знаками кванторов и пропозициональных связок. Символы предметных переменных, встречающиеся в формуле, разделяются на свободные и связанные. Связанные те, к-рые находятся в области действия квантора по этому переменному, а остальные свободные. Напр., в формуле
[1629-6.jpg]
ет n-местное отношение. Напр., формула, записывающая утверждение, что числа и и v взаимно простые, определяет на натуральных числах отношение взаимной простоты, к-рое для пары (3, 5) истинно, а для пары (2, 4) ложно. Для простейших формул соответствующее отношение фактически задаётся самой системой А. Для более сложных формул соответствующее отношение определяется путём интерпретации кванторов и
[1629-7.jpg]
этому определению, каждое высказывание в каждой алгебраич. системе соответствующей сигнатуры либо ложно, либо истинно. Например, если символу f ставится в соответствие операция сложения на натуральных числах, то формула
[1629-8.jpg]
раич. систем наз. аксиоматизируемым, если К есть совокупность всех моделей нек-рого множества высказываний. Мн. важные классы алгебраич. систем, напр, классы групп, колец, полей, аксиоматизируемы.
Изучение общих свойств аксиоматизируемых классов - важная часть М. т. Во мн. случаях по форме высказываний
[1629-9.jpg]
Фундаментальный результат М. т.-локальная теорема Мальцева (1936), согласно к-рой если каждая конечная
[1629-10.jpg]
дель. А. И. Мальцев нашел многочисл. применения своей теоремы для доказательства т. н. локальных теорем алгебры. Важным фактом в теории аксиоматизируемых классов является теорема Лё-венхейма - Сколема: всякий аксиоматизируемый класс конечной или счётной сигнатуры, содержащий бесконечные системы, содержит и счётную систему. В частности, нельзя написать такую совокупность высказываний, все модели к-рой были бы изоморфны одной бесконечной алгебраич. системе, напр, полю комплексных чисел или кольцу целых чисел. Но тем не менее существуют аксиоматизируемые классы, все системы к-рых данной бесконечной мощности изоморфны .
Одной из важных конкретных совокупностей высказываний является совокупность, определяющая понятие множества. Это понятие описывается на языке 1-й ступени, сигнатура которого состоит из одного символа - символа бинарного отношения, интерпретируемого как "х есть элемент y". Существует несколько вариантов таких описаний, каждый из к-рых осуществляется при помощи своей совокупности высказываний. Эти совокупности наз. системами аксиом для теории множеств. Развитие М. т. показало, что нельзя выбрать такую систему аксиом для теории множеств, к-рая удовлетворила бы все потребности математики (см. также Аксиоматическая теория множеств).
Центральная часть совр. М. т.- это изучение элементарных теорий, т. е. теорий, описываемых на языке 1-й ступени. Однако постепенно всё возрастающее место отводится и изучению теорий, описываемых при помощи более богатых языков.
Историческая справка. Осн. понятия М. т. возникли в математике в 19 в., гл. обр. в работах по основаниям геометрии. К понятию модели данного множества высказываний вплотную подошёл Н. И. Лобачевский в работах по геометрии. В полной мере оно появилось в работах Э. Белътрами и Ф. Клейна, построивших модели геометрии Лобачевского. Совр. формулировки осн. понятий М. т. сложились в работах школ Д. Гильберта и А. Тарского. М. т. возникла в нач. 30-х гг. 20 в. в результате применения методов математич. логики в алгебре, одним из инициаторов к-рого был А. И. Мальцев.
Лит.: Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; Робинсон А., Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры, пер. с англ., М., 1967.
А. Д. Тайманов, М. А. Тайцлин.
МОДЕЛИ в биологии применяются для моделирования биологи ч. структур, функций и процессов на разных уровнях организации живого: молекулярном, субклеточном, клеточном, органно-системном, ор-ганизменном и популяционно-биоцено-тическом. Возможно также моделирование различных биологич. феноменов, а также условий жизнедеятельности отдельных особей, популяций и экосистем. В биологии применяются в осн. три вида М.: биологические, физико-химические и математические (логико-матема-тич.). Биологические М. воспроизводят на лабораторных животных определённые состояния или заболевания, встречающиеся у человека или животных. Это позволяет изучать в эксперименте механизмы возникновения данного состояния или заболевания, его течение и исход, воздействовать на его протекание. Примеры таких М.- искусственно вызванные генетич. нарушения, инфекционные процессы, интоксикации, воспроизведение гипертония, и гипоксич. состояний, злокачественных новообразований, гиперфункции или гипофункции нек-рых органов, а также неврозов и эмоциональных состояний. Для создания биологич. М. применяют различные способы воздействия на генетич. аппарат, заражение микробами, введение токсинов, удаление отдельных органов или введение продуктов их жизнедеятельности (напр., гормонов), различные воздействия на центр, и периферич. нервную систему, исключение из пищи тех или иных веществ, помещение в искусственно создаваемую среду обитания и мн. др. способы. Биологич. М. широко используются в генетике, физиологии, фармакологии.
Физико-химические М. воспроизводят физич. или химич. средствами биологич. структуры, функции или процессы и, как правило, являются далёким подобием моделируемого биологич. явления. Начиная с 60-х гг. 19 в. были сделаны попытки создания физико-химич. М. структуры и нек-рых функций клеток. Так, нем. учёный М. Траубе (1867) имитировал рост живой клетки, выращивая кристаллы CuSO4 в водном растворе K4[Fe(CN)6]; франц. физик С. Ледюк (1907), погружая в насыщенный раствор К3РО4 сплавленный СаС12, получил -благодаря действию сил поверхностного натяжения и осмоса - структуры, внешне напоминающие водоросли и грибы. Смешивая оливковое масло с разными растворимыми в воде веществами и помещая эту смесь в каплю воды, О. Бючли (1892) получал микроскопич. пены, имевшие внешнее сходство с протоплазмой; такая М. воспроизводила даже амебоидное движение. С 60-х гг. 19 в. предлагались также разные физич. М. проведения возбуждения по нерву. В М., созданной итал. учёным К. Маттеуччи и нем.- Л. Германом, нерв был представлен в виде проволоки, окружённой оболочкой из проводника второго рода. При соединении оболочки и проволоки с гальванометром наблюдалась разность потенциалов, изменявшаяся при нанесении на участок "нерва" электрич. "раздражения". Такая М. воспроизводила нек-рые биоэлектрич. явления при возбуждении нерва. Франц. учёный Р. Лилли на М. распространяющейся по нерву волны возбуждения воспроизвёл ряд явлений, наблюдаемых в нервных волокнах (ре-фрактерный период, "всё или ничего* закон, двустороннее проведение). М. представляла собой стальную проволоку, к-рую помещали сначала в крепкую, а затем в слабую азотную к-ту. Проволока покрывалась окислом, к-рый восстанавливался при ряде воздействий; возникший в одном участке процесс восстановления распространялся вдоль проволоки. Подобные М., показавшие возможность воспроизведения некоторых свойств и проявлений живого посредством физико-химических явлений, основаны на внешнем качественном |
