| 11652078 12288 3054 948 1атриваются только плоские М. (т. е. предполагается, что М. лежит в одной плоскости). М. может сам себя пересекать (см. рис. 1, в), причём точки самопересечения могут не быть его вершинами.
Существуют и другие точки зрения на то, что считать М. Многоугольником можно наз. связную часть плоскости, вся граница к-рой состоит из конечного числа прямолинейных отрезков, наз. сторонами многоугольника. М. в этом смысле может быть и многосвязной частью плоскости (см. рис. 1, г), т. е. такой М. может иметь "многоугольные дыры". Рассматриваются также бесконечные М.- части плоскости, ограниченные конечным числом прямолинейных отрезков и конечным числом полупрямых.
Рис. 1.
Дальнейшее изложение опирается на данное выше первое определение М.
Если М. не пересекает сам себя (см., напр., рис. 1, а и б), то он разделяет совокупность всех точек плоскости, на
нем не лежащих, на две части - конечную (внутреннюю) и бесконечную (внешнюю) в том смысле, что если до точки принадлежат одной из этих частей, то их можно соединить друг с другом ломаной, не пересекающей М., а если разным частям, то нельзя. Несмотря на совершенную очевидность этого обстоятельства, строгий его вывод из аксиом геометрии довольно труден (т. н. теорема Жордана для М.). Внутрення по отношению к М. часть плоскости имеет определённую площадь. Если М.- самопересекающийся, то он разрезает плоскость на определённое число кусков из к-рых один бесконечный (наз. внешним по отношению к М.), а остальные конечные односвязные (наз. внутренними причём граница каждого из них есть нек-рый самонепересекающийся М., стороны к-рого есть целые стороны или части сторон, а вершины - вершины или точки самопересечения данного М. Если каждои стороне М. приписать направление, т. е. указать, какую из двух определяющих её вершин мы будем считать её началом, а какую - концом, и притом так, чтобы начало каждой стороны было концом предыдущей, то получится замкнутый многоугольный путь, или ориентированный М. Площадь области, ограниченной самопересекающимся ориентированным М., считается положительной, если контур М. обходит эту область против часовой стрелки, т. е. внутренность М. остаётся слева от идущего по этому пути, и отрицательной -в противоположном случае. Пусть М.-самопересекающийся и ориентированный; если из точки, лежащей во внешней по отношению к нему части плоскости провести прямолинейный отрезок к точке, лежащей внутри одного из внутренних его кусков, и М. пересекает этот отрезок р раз слева направо и q раз справа налево, то число р - q (целое положительное, отрицательное или нуль) не зависит от выбора внешней точки и наз. коэффициентом этого куска. Сумма обычных площадей этих кусков, помноженных на их коэффициенты, считается "площадью" рассматриваемого замкнутого пути (ориентированного М.). Определяемая "площадь замкнутого пути играет большую роль в теории математич. приборов (планиметр и др.); оно получается там обычно в виде интеграла (в полярных координатах р, со) или §ydx (в декартовых координатах х, у), где конец радиус-вектора р или ординаты у один раз обегает этот путь.
Сумма внутр. углов любого самонепересекающегося М. с и сторонами равна (п - 2)180°. М. наз. выпуклым (см. рис. 1, в), если никакая сторона М., будучи неограниченно продолженной, не разрезает М. на две части. Выпуклый М. можно охарактеризовать также следующим свойством: прямолинейный отрезок, соединяющий любые две точки плоскости, лежащие внутри М., не пересекает М. Всякий выпуклый
М.- самонёпересекающийся, но не наоборот. Напр., на рис. 1, б изображён самонепересекающийся М., к-рый не является выпуклым, т. к. отрезок PQ, соединяющий нек-рые его внутр. точки, пересекает М.
Важнейшие М.: треугольники, в частности прямоугольные, равнобедренные, равносторонние (правильные); четырёхугольники, в частности трапеции, параллелограммы, ромбы, прямоугольники, квадраты. Выпуклый М. паз. правильным, если все его стороны равны и все внутр. углы равны. В древности умели по стороне или радиусу описанного круга строить при помощи циркуля и линейки правильные М. только в том случае, если число сторон М. равно т= 3-2n, 4-2n,5-2n, 3-5-2n, где и-любое положительное число или нуль. Нем. математик К. Гаусс в 1801 показал, что можно построить при помощи циркуля и линейки правильный М., когда число его сторон имеет вид: т = 2n-pi-p2- ...-pit, где pi, p-2, ... РК -различные простые числа вида р - 22' + 1 (s - целое положительное число). До сих пор известны только пять таких р : 3, 5, 17, 257, 65537. Из теории Галуа (см. Галуа теория) следует, что никаких др. правильных М., кроме указанных Гауссом, построить при помощи циркуля и линейки нельзя. Т. о., построение возможно при т = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 32, 34, ... и невозможно при т = 7,9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, ...
Рис. 2.
В приведённой ниже таблице указаны радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности и площадь правильного и-угольника (для п = 3, 4, 5, 6, 8, 10), сторона к-рого равна k.
Начиная с пятиугольника существуют также невыпуклые (самопересекающиеся, или звездчатые) правильные М., т. е. такие, у к-рых все стороны равны и каждая следующая из сторон повёрнута в одном и том же направлении и на один и тот же угол по отношению к предыдущей . Все вершины такого М. также лежат на одной окружности. Такова, напр., пятиконечная звезда. На рис. 2 даны все правильные (как выпуклые, так и невыпуклые) М. от треугольника до семиугольника.
Лит. см. при ст. Многогранник.
МНОГОУГОЛЬНИК СИЛ, ломаная линия, которая строится для определения главного вектора (геом. суммы) данной системы сил. Чтобы построить М. с. для системы сил Fi, F2, ..., Fn (рис., а), надо от произвольной точки а поочерёдно отложить в выбранном масштабе вектор ab, изображающий силу Fi, от его конца отложить вектор be, изображающий силу F2, и т. д. и от конца т предпоследней силы отложить вектор тп, изображающий силу Fn (рис., б). Фигура а,b,с ... тп и наз. М. с. Вектор an, соединяющий в М. с. начало первой силы с концом последней, изображает геометрнч. сумму R данной системы сил. Когда точка п совпадает с а, М. с. наз. замкнутым; в этом случае R = 0. Правило М. с. может быть получено последовательным применением правила параллелограмма сил.
Построением М. с. пользуются при гра-фич. решении задач статики для систем сил, расположенных в одной плоскости.
МНОГОУСТКИ, класс червей; то же, что моногенетические сосальщики.
МНОГОФОТОННЫЕ ПРОЦЕССЫ, процессы взаимодействия электромагнитного излучения с веществом, сопровождающиеся поглощением или испусканием (или тем и другим) нескольких электромагнитных квантов (фотонов) в элементарном акте.
Осн. трудность наблюдения М. п.-их чрезвычайно малая вероятность по сравнению с однофотонными процессами. В оптич. диапазоне до появления лазеров наблюдались только двухфотон-ные процессы при рассеянии света: резонансная флуоресценция (см. Люминесценция), релеевское рассеяние света, Мандельштама - Брил-люэна рассеяние и комбинационное рассеяние света. При резонансной флуоресценции (рис., а) атом или молекула поглощают в элементарном акте одновременно один фотон возбуждающего излучения hw1 и испускают один фотон hw2 той же самой энергии. Рассеивающий атом при этом снова оказывается на том же самом уровне энергии E1. В элементарном акте бриллюэновского и комбинационного рассеяний в результате поглощения и испускания фотонов рассеивающая частица оказывается на уровне энергии, удовлетворяющем закону сохранения энергии для всего двухфотонного процесса в целом: увеличение энергии частицы Е2 - Е1 равно разности энергий поглощённого и испущенного фотонов hw1 -hw2 (рис., б). После появления лазеров стало возможным наблюдение процессов многофотонного возбуждения, когда в элементарном акте одновременно поглощается неск. фотонов возбуждающего излучения (рис., в). Так, при двухфотонном возбуждении атом или молекула одновременно поглощают два фотона hw1 и hw2 и оказываются в возбуждённом состоянии с энергией Е2 = Е 1 + (hw1 + + hw2) (см. Вынужденное рассеяние света, Нелинейная оптика).
Схемы квантовых переходов для двухфо-тонных процессов; а - в случае резонансной флуоресценции; б -комбинационного Рассеяния и рассеяния Мандельштама -риллюэна; в - двухфотонного возбуждения.
Представление о М. п. возникло в квантовой теории поля для описания взаимодействия излучения с веществом. Это взаимодействие описывается через элементарные однофотонные акты поглощения и испускания фотонов, причём р-приближению теории возмущений соответствует элементарный акт с одновременным участием р фотонов; р-фо-тонный переход можно рассматривать как переход, происходящий в р этапов через р - 1 промежуточных состояний системы: сначала поглощается (или испускается) один фотон и система из состояния Ео переходит в состояние Е1, затем поглощается (или испускается) второй фотон и система оказывается в состоянии Е2 и т. д.; наконец, в результате р элементарных однофотонных актов система оказывается в конечном состоянии Е1.
В случае М. п. с поглощением или вынужденным испусканием р фотонов одинаковой частоты со величина вероятности перехода пропорциональна числу фотонов этой частоты в степени р, т. е. интенсивности излучения в этой степени.
[1628-1.jpg]
Вероятность М. п. с участием р фотонов отличается от вероятности М. п. с участием (р - 1) фотона множителем, к-рый в оптич. диапазоне для нерезонансных разрешённых дипольных электрич. переходов (см. Квантовые переходы)
[1628-2.jpg]
тонов вероятность перехода резко уменьшается. В случае лазерных источников уже достигнуты столь большие плотности
[1628-3.jpg]
участием большого числа фотонов становятся сравнимыми с вероятностями однофотонных переходов.
Правила отбора для М. п. отличны от правил отбора для однофотонных. В системах с центром симметрии диполь-ные электрич. переходы с участием чётного числа фотонов разрешены только между состояниями с одинаковой чётностью, а с участием нечётного числа фотонов - между состояниями с разной чётностью. На новых правилах отбора для М. п. основано одно из наиболее принципиальных применений М. п.-многофотонная спектроскопия. Измерение спектров многофотонного поглощения позволяет оптич. методами исследовать энергетич. состояния, возбуждение к-рых запрещено из осн. состояния в однофотонных процессах.
В отличие от однофотонных процессов, закон сохранения энергии при М. п. может быть выполнен при результирующем переходе атома из более низкого в более высокое энергетич. состояние не только с поглощением, но и с испусканием отд. фотонов. Поэтому М. п. лежат в основе методов преобразования частоты излучения лазеров и создания новых перестраиваемых по частоте лазерных источников излучения (генераторов гармоник, генераторов комбинационных частот, параметрических генераторов света и т. п.). На основе М. п. возможно также создание перестраиваемых по частоте источников мощного оптического излучения.
Лит.: Бонч-Бруевич А. М., X о-довой В. А., Многофотонные процессы, "Успехи физических наук", 1965, т. 85, в. 1, с. 3 - 67; их же, Многофотонные процессы в оптическом диапазоне, "Изв. АН БССР, сер. физико-математических наук", 1965, № 4, с. 13-32.
В. А. Ходовой.
МНОГОЦВЕТНАЯ ПЕЧАТЬ, способ получения цветных отпечатков (репродукций) путём последовательного печатания на бумагу (или др. материал) с печатных форм на машине или станке. Цветные репродукции могут быть изготовлены любым способом печати (высоким, плоским и глубоким). Общим для всех способов является получение цветного оттиска определённым числом печатных красок, причём число печатных форм, с к-рых производится печатание, соответствует числу используемых красок.
Цветная полиграфич. репродукция появилась на заре печатания (оттиски с гравюр на дереве или металле раскрашивались от руки). М. п. начали применять после изобретения в кон. 18 в. литографии, когда для каждого цвета оригинала изготавливалась на литографском камне отд. печатная форма. Цветная литография получила название хромолитографии. Создание цветочувстви-тельных фотографических слоев в к |
