| 11652078 12288 3054 948 1BR>
МНОГОЭТАЖНЫЕ ЗДАНИЯ. Понятие "М. з." изменяется исторические зависимости от этажности гор. застройки, обусловленной социальными, экономич. и гра-достропт. требованиями. Жилые и обществ. М. з. начали широко распространяться в античных городах вследствие потребности в ускоренном стр-ве дешёвых жилищ для населения с низким доходом (напр., инсулы в Др. Риме), а позднее и в ср.-век. городах ввиду ограниченности их терр., защищённой гор. стенами (дома зажиточных горожан Европы с жильём, мастерскими и лавками в 1-2-х этажах и амбарами в остальных). В эпоху капитализма бурный рост городов и значительное удорожание гор. земельных участков вызвали резкое расширение стр-ва М. з., а совершенствование их инж. оборудования (в первую очередь появление лифта) позволило значительно поднять их высоту (16-этажный Монаднок-билдннг в Чикаго, 1891, арх. Д. X. Бёрнем и Дж. У. Рут). В кон. 19 - нач. 20 вв. в США появились М. з. в несколько десятков этажей (т. н. небоскрёбы), используемые для контор, банков, гостиниц, жилья. Построенный в 1930-31 в Нью-Йорке небоскрёб Эмпайр стейт билдинг (архит. фирма "Шрив, Лэмб и Хармон") насчитывает 102 этажа (вые. без телевизионной вышки, выстроенной в 1951,- ок. 380 м). Со 2-й пол. 1940-х гг., в связи с интенсивной урбанизацией, а. иногда и недостатком свободных территорий, М. з. получили широкое распространение во многих странах мира. Наряду с основным массовым строительством М. з. в 9-17 этажей возводятся т. н. высотные здания, часто многофункционального назначения (например, 100-этажный Джон Хэнкок билдинг в Чикаго, 1971, арх. Л. Скидмор, Н. А. Оуингс, Дж. О. Мерилл, где размещаются магазины, банк, гараж, конторы, жильё и др.). В условиях капиталистического градостроительства стихийная концентрация М. з. на ограниченной терр. и скопление значит, масс людей и трансп. средств приводят к разрушению функциональных, физико-гигиенич. и эстетич. качеств гор. среды (трансп. пробки, оглушающе шумные, узкие улицы, лишённые свежего воздуха, ощущение хаоса, к-рое создаёт вид тесной застройки разновысотными, нередко невыразительными по архитектуре М. з.).
В СССР и др. социалистич. странах М. з. размещаются обычно в соответствии с градостроит.требованиями,согласно ген. планам городов (в частности, в целях экономии территорий в центре города, особо ценных вследствие их насыщенности дорогостоящими коммуникациями, инж. оборудованием и пр.). В кон. 1940-х -нач. 1950-х гг. в Москве по единому градостроительному замыслу было построено 7 высотных зданий в 26-32 этажа (арх. В. Г. Гельфрейх, А. Н. Душкин, Б. С. Мезенцев, М. А. Минкус, А. Г. Мордвинов, Л. М. Поляков, Л. В. Руднев, Д. Н. Чечулин и др.). Сооружение этих зданий ускорило тех-нич. прогресс в области строительства. Поставленные в ключевых местах столицы и увенчанные шпилями, они придали ей новый силуэт и масштабность. Для этих зданий характерны сложная композиция из разновысотных объёмов, обилие декора на фасадах и в интерьерах, низкий процент полезной площади. Стр-во М. з. индустриальными методами резко увеличилось в СССР во 2-й пол. 1960-х гг. (в 1973 - 20% от общего стр-ва жилых зданий). Наряду с осн. массой 9-17-этажных зданий воздвигаются и здания в 25 этажей и выше. Иногда М. з. образуют целые комплексы (напр., проспект Калинина в Москве, 1964-69, арх. М. В. Посохин, А. А. Мндоянц и др.; илл. см. т. 7, табл. XV, стр. 208-209). Единой классификации М. з. не существует. Критерием отнесения зданий к категории М. з. принято считать появление (в результате большой высоты) качественных изменений в их планировке, конструкции и техническом оснащении. В М. з. требуется обеспечение пожарной безопасности (повышенная огнестойкость конструкций, устройство незадымляемых лестниц, систем пожарного водопровода, дымоудаления и др.), конструктивной устойчивости под действием ветровых, в т. ч. динамич., нагрузок, усложняются лифтовое хозяйство и технич. оборудование. Конструктивная устойчивость жилых М. з. достигается гл. обр. за счёт поперечных несущих стен или связевого каркаса (в СССР преим. сборного железобетонного; см. Железобетонные конструкции и изделия, Крупнопанельные конструкции), в обществ, зданиях - в сочетании с т. н, ядром жёсткости (железобетонной коробкой, ограждающей собранные вместе лифтовые шахты, технич. коммуникации). В высотных зданиях за рубежом распространены ядрооболочко-вые конструкции, в к-рых "оболочка" - несущие фасадные ограждения решётчатого типа из стальных или предварительно напряжённых железобетонных элементов - соединяется перекрытиями с расположенным в центре "ядром", образуя единую систему большой жёсткости (две 110-этажные башни Центра междунар. торговли в Нью-Йорке, арх. М. Ямасаки и др., 1971-73). Из-за большого (порой отрицательного) влияния на традиц. облик старых городов огромных объёмов, повторения многих тысяч одинаковых фасадных элементов создать выразительное архит. решение М. з. очень сложно. Стремясь преодолеть сверхчеловеческий масштаб и однообразие, архитекторы вводят в композицию М. з. сопоставление разновысотных объёмов, иногда криволинейные очертания, ищут выразит, пропорции и силуэт, прибегают к ритмич. организации фасадных элементов (напр., группировка балконов и их ограждений или окон в композиции орнаментального характера), к эффектной отделке фасадов нержавеющей сталью, алюминием, бронзой, стеклом (напр., 38-этажное здание Сигрем-билдинг в Нью-Йорке, 1958, арх. Л. Мис ван дер РОЭ).
Лит.: Д ы х о в и ч н ы и Ю. А., Конструирование и расчет жилых и общественных зданий повышенной этажности, М., 1970; I Международный симпозиум. Многоэтажные здания. Сборник докладов. Москва -СССР. Октябрь 1971, М., 1972 (на рус. и англ, яз.); R a f e i n e r F., Hochhauser. Planting, Kosten, Bauausfuhrung, В., 1968.
А. И. Опочинская,
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ, учение об общих свойствах множеств, преимущественно бесконечных. Понятие м н о-ж е с т в а, или совокупности, принадлежит к числу простейших математических понятий; оно не определяется, но может быть пояснено при помощи примеров. Так, можно говорить о множестве всех книг, составляющих данную библиотеку, множестве всех точек данной линии, множестве всех решений данного уравнения. Книги данной библиотеки, точки данной линии, решения данного уравнения являются элементами соответствующего множества. Чтобы определить множество, достаточно указать характеристич. свойство элементов, т. е. такое свойство, к-рым обладают все элементы этого множества и только они. Может случиться, что данным свойством не обладает вообще ни один предмет; тогда говорят, что это свойство определяет пустое множество. То, что данный предмет х есть элемент множества М, записывают так: х е М (читают: х принадлежит множеству М).
Подмножества. Если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В, то множество А паз. подмножеством, или частью, множества В. Это записывают так: Л ? В или В Э А. Т. о., подмножеством данного множества В является и само множество В. Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества. Всякое непустое подмножество А данного множества В, отличное от всего множества В, наз. правильной частью последнего.
Мощность множеств. Первым вопросом, возникшим в применении к бесконечным множествам, был вопрос о возможности их количественного сравнения между собой. Ответ на этот и близкие вопросы дал в кон. 70-х гг. 19 в. Г. Кантор, основавший М. т. как математич. науку. Возможность сравнительной количественной оценки множеств опирается на понятие взаимно однозначного соответствия между двумя множествами. Пусть каждому элементу множества А поставлен в соответствие в силу какого бы то ни было правила или закона некоторый определённый элемент множества В; если при этом каждый элемент множества оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества Л, то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное, или одно-однозначное, соответствие [сокращённо: (1 - 1)-соответствие]. Очевидно, между двумя конечными множествами можно установить (1 - 1 )-соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. В обобщение этого факта определяют количественную эквивалентность, или р а в н о м о щ-ность, двух бесконечных множеств как возможность установить между ними (1 - 1 )-соответствие.
Ещё до создания М. т. Б. Болъцано владел, с одной стороны, вполне точно формулированным понятием (1-1)-соот-ветствия, а с другой стороны, считал несомненным существование бесконечностей различных ступеней; однако он не только не сделал (1-1 соответствие основой установления количественной равносильности множеств, но решительно возражал против этого. Больцано останавливало то, что бесконечное множество может находиться в (1-^-соответствии со своей правильной частью. Напр., если каждому натуральному числу п поставить в соответствие натуральное число 2п, то получим (1 - 1 ^соответствие между множеством всех натуральных и множеством всех чётных чисел. Вместо того чтобы в применении к бесконечным множествам отказаться от аксиомы: часть меньше целого, Больцано отказался от взаимной однозначности как критерия равномощности и, т. о., остался вне осн. линии развития М. т. В каждом бесконечном множестве М имеется (как легко доказывается) правильная часть, равномощная всему М, тогда как ни в одном конечном множестве такой правильной части найти нельзя. Поэтому наличие правильной части, равномощ-ной целому, можно принять за определение бесконечного множества (Р. Дедекинд).
Для двух бесконечных множеств А и В возможны лишь следующие три случая: либо Л есть правильная часть, равномощная В, но в В нет правильной части, равномощной Л; либо, наоборот, в В есть правильная часть, равномощная Л, а в Л нет правильной части, равномощной В; либо, наконец, в А есть правильная часть, равномощная В, и в В есть правильная часть, равномощная Л. Доказывается, что в третьем случае множества Л и В равномощны (теорема Кантора -Бернштейна). В первом случае говорят, что мощность множества Л больше мощности множества В, во втором - что мощность множества В больше мощности множества Л. A priori возможный четвёртый случай - в Л нет правильной части, равномощной В, а в В нет правильной части, равномощной Л,- в действительности не может осуществиться (для бесконечных множеств).
Ценность понятия мощности множества определяется существованием неравно-мощных бесконечных множеств. Напр., множество всех подмножеств данного множества М имеет мощность большую, чем множеством. Множество, равномощ-ное множеству всех натуральных чисел, наэ. счётным множеством. Мощность счётных множеств есть наименьшая мощность, к-рую может иметь бесконечное множество; всякое бесконечное множество содержит счётную правильную часть. Кантор доказал, что множество всех рациональных и даже всех алгебраич. чисел счётно, тогда как множество всех действит. чисел несчётно. Тем самым было дано новое доказательство существования т. н. трансцендентных чисел, т. е. действит. чисел, не являющихся корнями никакого алгебраич. уравнения с Целыми коэффициентами (и даже несчётность множества таких чисел). Мощность множества всех действительных чисел наз. мощностью континуума. Множеству всех действительных чисел равномощны: множество всех подмножеств счётного множества, множество всех комплексных чисел и, следовательно, множество всех точек плоскости, а также множество всех точек трёх- и вообще и-мерного пространства при любом п. Кантор высказал гипотезу (т.н. континуум-гипотезу): всякое множество, состоящее из действит. чисел, либо конечно, либо счётно, либо равномощно множеству всех действит. чисел; по поводу этой гипотезы и существенных связанных с нею результатов см. Континуума проблема.
Отображения множеств. В М. т. ана-литич. понятие функции, геометрич. понятие отображения или преобразования фигуры и т. п. объединяются в общее понятие отображения одного множества в другое. Пусть даны два множества X
[1628-10.jpg]
или значением данной функции для данного значения её аргумента х.
Примеры. 1) Пусть задан в плоскости с данной на ней прямоугольной системой координат квадрат с вершинами (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1) и осуществлена проекция этого квадрата, напр, на ось абсцисс; эт |
