| 11652078 12288 3054 948 1ю (по существу не менее чем одна, если учесть предельный случай).
Разработанная Л. новая геометрия существенно отличается от евклидовой геометрии, но при больших значениях входящей в формулы нек-рой постоянной R (радиус кривизны пространства) отклонение становится незначительным (см. Лобачевского геометрия).
В соответствии со своим материалистич. подходом к изучению природы, Л. полагал, что только науч. опыт может выявить, какая из геометрий осуществляется в физ. пространстве. Используя новейшие астрономич. данные того времени, он пришёл к выводу, что число R очень велико и отклонения от евклидовой геометрии если и существуют, то заключены в пределах ошибок измерений. Т. о., была обоснована практич. пригодность евклидовой геометрии. Кроме того, Л. показал, как его геометрию можно применять в др. разделах математики, а именно в математич. анализе при вычислении определённых интегралов.
Доклад Л. совпал по времени с увольнением Магницкого. Л. был высоко оценён новым попечителем - М. Н. Мусиным-Пушкиным. Л. избрали ректором (1827) и за 19 лет руководства ун-том он добился его подлинного расцвета. Программа деятельности Л. отражена в его замечательной речи "О важнейших предметах воспитания" (1828, опубл. 1832), в к-рой обрисован идеал гармонич. развития личности, подчёркнуто обществ, значение воспитания и образования, освещена роль наук и долг учёного перед страной и народом.
В бытность Л. ректором было осуществлено в 1832-40 строительство целого комплекса вспомогательных зданий: библиотека, астрономич. обсерватория, физ. кабинет и хим. лаборатория, анатомич. театр, клиника и др. Он положил начало "Учёным запискам Казанского ун-та" (1834) и развил издательскую деятельность. Уровень научно-учебной работы повысился, контингент студентов возрос. Ун-т стал важным центром востоковедения. Немало сил Л. вкладывал и в улучшение постановки преподавания в гимназиях и училищах округа. В моменты стихийных бедствий (эпидемия холеры в 1830, пожар Казани в 1842) особенно ярко проявилась его забота, об ун-те. Но ректорство не отрывало Л. от преподавания: в разные годы он читал лекции по аналитич. механике, гидромеханике, интегральному исчислению, дифференциальным уравнениям, математич. физике, вариационному исчислению, а в 1838-40 - научно-популярные лекции по физике для населения. Студенты высоко ценили лекции Л.
Однако науч. идеи Л. не были поняты современниками. Его труд "О началах геометрии", представленный в 1832 советом ун-та в Академию наук, получил у М. В. Остроградского отрицательную оценку, а в 1834 в реакц. журн. "Сын отечества" появилась анонимная издевательская статейка. Но Л. не прекратил разработки своей геометрии. Его работы появлялись в 1835-38, а в 1840 в Германии вышла его книга "Геометрические исследования" (на нем. языке). Эта стойкая борьба за науч. истину отличает Л. от двух его современников, тоже пришедших к открытию неевклидовой геометрии. Венг. математик Я. Болъяй опубликовал свой труд позднее Л. (1832). Не встретив поддержки у современников, он не продолжил исследований. Нем. математик К. Ф. Гаусс также владел началами неевклидовой геометрии. Но из опасения встретить непонимание Гаусс не разрабатывал их далее и не опубликовал. Однако, не высказываясь в печати, он высоко оценил труды Л., и по его предложению Л. был в 1842 избран членом- корреспондентом Гёттингенского учёного общества.
Л. получил ряд ценных результатов и в др. разделах математики: так, в алгебре он разработал новый метод приближённого решения уравнений (Лобачевского метод), в математич. анализе получил ряд тонких теорем о тригонометрич. рядах, уточнил понятие непрерывной функции и др.
В 1846 Л. оказался фактически отстранённым от ун-та. Он был назначен помощником нового попечителя (без оплаты) и лишён ректорства. Здоровье его пошатнулось. Но семейное горе - смерть сына, материальные затруднения и развивавшаяся слепота не могли сломить мужества Л. Последнюю работу "Пан- геометрию" он создал за год до смерти, диктуя её текст.
Л. умер непризнанным. Большую роль в признании трудов Л. сыграли исследования Э. Белътрами (1868), Ф. Клейна (1871), А. Пуанкаре (1883) и др. Казанский ун-т и физико-математич. об-во провели большую работу по выявлению значения идей Л. и изданию его геомет- рич. сочинений. Широкое признание пришло к 100-летнему юбилею Л.- была учреждена международная премия, в Казани открыт памятник (1896).
Соч.: Поли. собр. соч., т. 1-5, М.- Л., 1946-51; Избр. труды по геометрии, М.- Л., 1956.
Лит.: Васильев А. В., Лобачевский, СПБ, 1914; Каган В. Ф., Лобачевский, 2 изд., М,- Л., 1948 (имеется библ.); Лаптев Б. Л., Великий русский математик, "Вестник высшей школы", 1967, № 12; Историко-математические исследования, в. 3, 4, 6, 11, М.- Л., 1950-58 (ряд статей); Модзалевский Л. Б., Материалы для биографии Н. И. Лобачевского, М.- Л., 1948. Б.Л.Лаптев.
Н. И. Лобачевский.
ЛОБАЧЕВСКОГО ГЕОМЕТРИЯ, геометрическая теория, основанная на тех же осн. посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, к-рая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского. Евклидова аксиома о параллельных гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её. В Л. г. вместо неё принимается след, аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. Казалось бы, эта аксиома противоречит чрезвычайно привычным представлениям. Тем не менее как эта аксиома, так и вся Л. г. имеет вполне реальный смысл (о чём см. ниже). Л. г. была создана и развита Н. И. Лобачевским, к-рый впервые сообщил о ней в 1826. Л. г. наз. неевклидовой геометрией, хотя обычно термину "неевклидова геометрия" придают более широкий смысл, включая сюда и др. теории, возникшие вслед за Л. г. и также основанные на изменении осн. посылок евклидовой геометрии. Л. г. наз. специально гиперболической неевклидовой геометрией (в противоположность эллиптической геометрии Римана) (см. Неевклидовы геометрии, Римана геометрия).
Л. г. представляет теорию, богатую содержанием и имеющую применение как в математике, так и в физике. Исто- рич. её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики вообще (см. Геометрия). С современной точки зрения можно дать, напр., следующее определение Л. г. на плоскости: она есть не что иное, как геометрия внутри круга на обычной (евклидовой) плоскости, лишь выраженная особым образом. Именно, будем рассматривать круг на обычной плоскости (рис. 1) и внутренность его, т. е. круг, за исключением ограничивающей его окружности, назовём "плоскостью". Точкой "плоскости" будет точка внутри круга. "Прямой" будем называть любую хорду (напр., a, b, b', MN) (с исключёнными концами, т. к. окружность круга исключена из "плоскости"). "Движением" назовём любое преобразование круга самого в себя, к-рое переводит хорды в хорды. Соответственно, равными называются фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями. Тогда оказывается, что любой геометрич. факт, описанный на таком языке, представляет теорему или аксиому Л. г. Иными словами, всякое утверждение Л. г. на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, т. к. через точку О, не лежащую на данной хорде а (т. е. "прямой"), проходит сколько угодно не пересекающих её хорд ("прямых") (напр., Ь, Ь'). Аналогично, Л. г. в пространстве может быть определена как геометрия внутри шара, выраженная в соответствующих терминах ("прямые" - хорды, "плоскости" - плоские сечения внутренности шара, "равные" фигуры - те, к-рые переводятся одна в другую преобразованиями, переводящими шар сам в себя и хорды в хорды). Т. о., Л. г. имеет совершенно реальный смысл и столь же непротиворечива, как геометрия Евклида. Описание одних и тех же фактов в разных терминах или, напротив, описание разных фактов в одних и тех же терминах представляет характерную черту математики. Она ясно выступает, напр., когда одна и та же линия задаётся в разных координатах разными уравнениями или, напротив, одно и то же уравнение в разных координатах представляет различные линии.
Возникновение геометрии Лобачевского. Источником Л. г. послужил вопрос об аксиоме о параллельных, к-рая известна также как V постулат Евклида (под этим номером утверждение, эквивалентное приведённой выше аксиоме о параллельных, фигурирует в списке постулатов в "Началах" Евклида). Этот постулат, ввиду его сложности в сравнении с другими, вызвал попытки дать его доказательство на основании остальных постулатов.
Вот неполный перечень учёных, занимавшихся доказательством V постулата до 19 в.: др.-греч. математики Птолемей (2 в.), Прокл (5 в.) (доказательство Прокла основано на предположении о конечности расстояния между двумя параллельными), Ибн аль-Хайсам из Ирака (кон. 10 - нач. 11 вв.) (Ибн аль- Хайсам пытался доказать V постулат, исходя из предположения, что конец движущегося перпендикуляра к прямой описывает прямую линию), тадж. математик Омар Хайям (2-я пол. 11 - нач. 12 вв.), азерб. математик Насирэддин Туей (13 в.) (Хайям и Насирэддин при доказательстве V постулата исходили из предположения, что две сходящиеся прямые не могут при продолжении стать расходящимися без пересечения), нем. математик К. Клавий (Шлюссель, 1574), итал. математики П. Катальди (впервые в 1603 напечатавший работу, целиком поев, вопросу о параллельных), Дж. Бо- релли (1658), Дж. Витале (1680), англ, математик Дж. Валлис (1663, опубл. в 1693) (Валлис основывает доказательство V постулата на предположении, что для всякой фигуры существует ей подобная, но не равная фигура). Доказательства перечисленных выше геометров сводились к замене V постулата др. предположением, казавшимся более очевидным. Итал. математик Дж. Саккери (1733) сделал попытку доказать V постулат от противного. Приняв предложение, противоречащее постулату Евклида, Саккери развил из него довольно обширные следствия. Ошибочно признав нек-рые из этих следствий приводящими к противоречиям, Саккери заключил, что постулат Евклида доказан. Нем. математик И. Ламберт (ок. 1766, опубл. в 1786) предпринял аналогичные исследования, однако он не повторил ошибки Саккери, а признал своё бессилие обнаружить в построенной им системе логич. противоречие. Попытки доказательства постулата предпринимались и в 19 в. Здесь следует отметить работы франц. математика А. Лежандра; одно из его доказательств (1800) основано на допущении, что через каждую точку внутри острого угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла, т. е., как и все его предшественники, он заменил постулат др. допущением. Довольно близко к построению Л. г. подошли нем. математики Ф. Швейкарт (1818)и Ф. Тау- ринус (1825), однако ясно выраженной мысли о том, что намечаемая ими теория будет логически столь же совершенна, как и геометрия Евклида, они не имели. Вопрос о V постулате Евклида, занимавший геометров более двух тысячелетий, был решён Лобачевским. Это решение сводится к тому, что постулат не может быть доказан на основе др. посылок евклидовой геометрии и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий. Лобачевский сделал об этом сообщение в 1826, а в 1829-30 напечатал работу "О началах геометрии" с изложением своей теории. В 1832 была опубликована работа венгерского математика Я. Болъяй аналогичного содержания. Как выяснилось впоследствии, немецкий математик К. Ф. Гаусс также пришёл к мысли о возможности существования непротиворечивой неевклидовой геометрии, но скрывал её, опасаясь быть непонятым. Хотя Л. г. развивалась как умозрительная теория и сам Лобачевский называл её "воображаемой геометрией", тем не менее именно Лобачевский рассматривал её не как игру ума, а как возможную теорию пространственных отношений. Однако доказательство её непротиворечивости было дано по |
