| 11652078 12288 3054 948 1нирования эксперимента.
Индуктивная Л. не была, однако, главной линией развития логич. мысли. Этой линией стало развитие строго дедуктивной - математической - логи-. ки, истоки к-рой были заключены уже в соч. Лейбница.' Хотя большая часть логич. наследия последнего оставалась неопубликованной до нач. 20 в., прижизненное распространение его идей оказало заметное влияние на развитие алгебро- логич. методов в Л., в процессе к-рого уже в 19 в. в трудах О. де Моргана, Дж. Буля, нем. математика Э. Шредера, П. С. Порецкого и др. путём применения математического (в основном алгебраического) метода к Л. была построена развитая логическая теория алгебраического характера, на основе которой в дальнейшем сформировалась современная алгебра Л.
Центральной фигурой этого "алгебро- логического" этапа в истории Л. был Буль. Он разработал свою алгебру Л. (термин "алгебра логики" был введён после Буля Ч. Пирсом) как обычную для того времени алгебру, а не как дедуктивную систему в позднейшем смысле. Не удивительно, что Буль стремился сохранить в своей алгебре Л. все арифметич. операции, в том числе вычитание и деление, к-рые оказалось трудно истолковать логически.Алгебра логики Буля (интерпретировавшаяся прежде всего как логика классов, т. е. объёмов понятий) была значительно упрощена и усовершенствована Джевонсом, отказавшимся в Л. от операций вычитания и деления. У Джевонса мы уже встречаем ту алгебраич. систему, к-рая впоследствии получила название "булевой алгебры" (у самого Буля, использовавшего в своей алгебре операцию, соответствующую исключающему логич. союзу "или", т. е. строгую дизъюнкцию, а не распространённую в современной Л. "обычную", слабую, дизъюнкцию, "булевой алгебры" непосредственно не было). Строгие методы решения логич. уравнений были предложены Шредером (1877) и Порецким (1884). Многотомные "Лекции по алгебре логики" (1890-1905) Шредера (вместе с работами Порецкого вплоть до 1907) явились высшей точкой развития алгебры Л. 19 в.
История алгебры Л. началась с попыток перенести в Л. все операции и законы арифметики, но постепенно логики начинали сомневаться не только в правомерности, но и в целесообразности такого переноса. Они выработали специфические именно для Л. операции и законы. Наряду с алгебраическими в Л. издавна применялись геометрические (точнее, графические) методы. Приёмами представления модусов силлогизмов с помощью геометрических фигур владели антич. комментаторы Аристотеля. Использование с этой целью кругов, обычно приписываемое Л. Эйлеру, было из- ! вестно ещё И. К. Штурму (1661) и Лейб- : ницу, владевшему и отличными от эйлеровых методами. Способы геометрической интерпретации предложений Л. имелись у И. Г. Ламберта и Б. Больцано. Но особенного расцвета эти методы достигли в трудах Дж. Вечна, разработавшего гра- фич.'аппарат диаграмм (см. Логические диаграммы), фактически полностью эквивалентный Л. классов и носящий уже не только иллюстративный, но и эвристич. характер.
К кон. 19 в. в дедуктивной Л. произошёл глубокий переворот, связанный с работами Дж. Пеано, Пирса и Г. Фреге, к-рые преодолели узость чисто алгебра- ич. подхода прежних авторов, осознали значение математич. Л. для матема- ' тиков и начали применять её к вопросам оснований арифметики и теории множеств. Достижения этого периода, в особенности связанные с аксиоматич. построением Л., в наиболее чёткой форме молено проследить в исследованиях Фреге. Начиная со своей работы "Исчисление понятий" (1879), он развил совершенно строгое аксиоматич. построение исчисления высказываний и предикатов. Его формализованная Л. содержала все осн. элементы совр. логич. исчислений: пропозициональные переменные (переменные для высказываний), предметные перемен- н ы е, кванторы (для к-рых он ввёл спец. символы) и предикаты; он подчёркивал различие между логическими законами и правилами логич. вывода, между переменной и константой, различал (не вводя, правда, особых терминов) язык и метаязык (см. Метатеория, Метаязык), Его исследования (так же как аналогичные работы Пирса) в области логич. структуры естеств. языка и семантики логич. исчислений положили начало проблемам логической семантики. Большой заслугой Фреге явилась разработка системы формализованной арифметики, основанной на развитой им логике предикатов. Эти работы Фреге и выявившиеся в связи с ними трудности послужили исходным пунктом развития современной теории математического доказательства.
Фреге употреблял оригинальную символику, к-рая, в отличие от обычно применяемой одномерной, была двумерной (она не привилась). Совр. система обозначений в Л. восходит к символике, предложенной Дж. Пеано. С нек-рыми изменениями она была воспринята Б. Расселом, создавшим совместно с А. Н. Уайт- хедом трёхтомный труд "Принципы математики" - труд, систематизировавший и развивший далее дедуктивно-аксиома- тич. построение Л. в целях логич. обоснования математич. анализа (см. Логицизм).
С этого сочинения я начавших появляться с 1904 работ Д. Гильберта по математич. Л. естественно датировать начало совр. этапа логич. исследований. М. М. Новосёлов, 3. А. Кузичева, Б. В. Бирюков.
Предмет и метод современной логики. Современная Л. развилась в точную науку, применяющую математич. методы. Она стала, по словам Порецкого, м а- тематической логикой - Л. по предмету, математикой по методу. В этом качестве Л. стала пригодной для правильной постановки и решения логич. проблем математики, в особенности проблем, связанных с доказуемостью и недоказуемостью тех или иных положений математич. теорий. Точная постановка таких проблем требует прежде всего уточнения понятия доказательства. Всякое математич, доказательство состоит в последоват. применении тех или иных логич. средств к исходным положениям. Но логич. средства не представляют собой чего-то абсолютного, раз навсегда установленного. Они вырабатывались в процессе многовековой человеческой практики; "...практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом" (Ленин В. И., Поли. собр. соч., 5 изд., т. 29, с. 172). Человеческая практика является, однако, на каждом ист. этапе ограниченной, а объём её всё время растёт. Логич. средства, удовлетворительно отражавшие практику человеческого мышления на данном этапе или в данной области, могут оказаться неподходящими на след, этапе или в другой области. Тогда в зависимости от изменения содержания рассматриваемого предмета изменяется и способ его рассмотрения - изменяются логич. средства. Это в особенности относится к математике с её далеко идущими многократными абстракциями. Здесь совершенно бессмысленно говорить о логич. средствах как о чём-то данном в своей совокупности, как о чём-то абсолютном. Зато имеет смысл рассмотрение логич. средств, применяемых в той или иной конкретной обстановке, встречающейся в математике. Их установление для к.-л. данной математич. теории и составляет искомое уточнение понятия доказательства применительно к этой теории. Важность этого уточнения для развития математики выявилась в особенности в связи с проблемами её оснований. Разрабатывая множеств теорию, исследователи столкнулись с рядом своеобразных трудных проблем. Исторически первой из них явилась проблема о мощности континуума, выдвинутая Кантором (1883), к к-рой до 1939 не было найдено подходов (см. Континуума проблема). Другие проблемы, столь же упорно не поддававшиеся решению, встретились в т. н. дескриптивной теории множеств, успешно разрабатываемой сов. математиками. Постепенно становилось всё более ясно, что трудность этих проблем имеет логич. природу, что эта трудность обусловлена неполной выявлен- ностыо применяемых логич. средств и что единств, путём к её преодолению является уточнение этих средств. Выяснилось, т. о., что разрешение этих задач требует привлечения новой математич. науки - математической логики. Надежды, возлагавшиеся на математич. Л. в связи с этими проблемами, оправдались. В особенности это касается проблемы континуума, к-рая может считаться полностью решённой благодаря работам К. Гёделя (1939) и П. Коэна (1963). Первый из них доказал совместимость обобщённой континуум-гипотезы Кантора с аксиомами теории множеств в предположении непротиворечивости последних. Второй при том же предположении доказал независимость континуум-гипотезы от аксиом теории множеств, т. е. её недоказуемость. Аналогичные результаты были получены П. С. Новиковым (1951) в отношении ряда проблем дескриптивной теории множеств. Уточнение понятия доказательства в математич. теории путём установления допускаемых логич. средств является существенным этапом её развития. Теории, прошедшие этот этап, наз. дедуктивными теориями. Лишь для них допускают точную формулировку интересующие математиков проблемы доказуемости и непротиворечивости.
Для решения этих проблем в совр. Л. применяется метод формализации доказательств - один из основных её методов. Сущность его состоит в следующем.
Формулировки теорем и аксиом развиваемой теории полностью записываются в виде формул, для чего употребляется особая символика, пользующаяся, наряду с обычными математич. знаками, знаками для логич. связок, применяемых в математике: "... и ...", "... или ...", "если ..., то ...", "неверно, что ...", "при всяком ...", "существует ... такой, что ...". Всем логич. средствам, с помощью к-рых теоремы выводятся из аксиом, ставятся в соответствие правила вывода новых формул из уже выведенных. Эти правила формальны, т. е. таковы, что для проверки правильности их применений нет надобности вникать в смысл формул, к к-рым они применяются, и формулы, получаемой в результате; надо лишь убедиться, что эти формулы построены из таких-то знаков, так-то расположенных. Доказательство теоремы отображается в выводе выражающей её формулы. Вывод же этот рассматривается как ряд формул, в конце к-рого стоит формула, подлежащая выводу. В выводе всякая формула либо выражает аксиому, либо получается из одной или нескольких предыдущих формул по одному из правил вывода. Формула считается выводимой, если может быть построен её вывод.
Если сопоставление правил вывода применяемым логич. средствам было произведено надлежащим образом, то получают возможность судить о доказуемости теорем в данной теории по выводимости выражающих их формул. Выяснение выводимости или невыводимости той или иной формулы есть задача, не требующая привлечения далеко идущих абстракций, и решать эту задачу часто бывает возможно сравнительно элементарными методами.
Идея метода формализации доказательств принадлежит Д. Гильберту. Проведение этой идеи стало, однако, возможным благодаря предшествовавшей разработке математич. Л. (см. раздел История логики).
Применение идеи формализации доказательств бывает обычно связано с выделением логической части рассматриваемой дедуктивной теории. Эта логическая часть, оформляемая, как и вся теория, в виде нек-рого исчисления, т. е. системы формализованных аксиом и формальных правил вывода, может тогда рассматриваться как самостоятельное целое.
Простейшими из логич. исчислений являются исчисления высказываний: классическое и интуиционистское. В них употребляются след, знаки: 1) т. н. логические переменные -буквы А, В, С, . . . , означающие произвольные "высказывания" (смысл этого термина объясняется ниже); 2) знаки логич. связок
[1409-33.jpg][1409-34.jpg]
означающие соответственно "... и ...", "... или ...", "если ..., то ...", "неверно, что ..."; 3) скобки, выявляющие строение формул.
Формулами в этих исчислениях считаются логич. переменные и всякие выражения, получаемый из них путём повторного применения следующих операций: 1) присоединение к ранее построенному выражению знака
[1409-35.jpg]
слева, 2) написание двух ранее построенных выражений рядом друг за другом со включением одного из знаков
[1409-36.jpg]или [1409-37.jpg] между ними и с заключением всего в скобки. Напр., следующие выражения являются формулами:
[1409-38.jpg]
В обоих исчислениях высказываний - классическом и интуиционистском - употребляются одни и те же правила вывода.
Правило подстановки. Из формулы выводится новая формула путём подстановки всюду вместо к.- |
