| 11652078 12288 3054 948 1ы с исследованиями отдельных выдающихся учёных и опирались на узкую базу. Научные математич. центры имелись в немногих городах (Петербург, Москва, Казань, Харьков, Киев). При этом основные достижения были связаны с работой петерб. школы. После Великой Октябрьской социалистич. революции ряд новых важных направлений возник в московской математич. школе. В дореволюционной России основными центрами математич. исследований являлись университеты (Петербургский, Московский, Казанский и др.). Развитие науч. исследований в области М. и её приложений после 1917 было самым тесным образом связано с развитием и укреплением АН СССР; эти исследования в значит, мере сконцентрированы в математических институтах АН СССР, АН союзных республик и ведущих ун-тах. Важной чертой развития М. в нашей стране является возникновение за годы Сов. власти многочисл. науч. школ в городах, где раньше не велось заметной работы в области М. Таковы матем. школы в Тбилиси, Ереване, Баку, Вильнюсе, Ташкенте, Минске, Свердловске и др. городах и созданная в 60-х гг. науч. школа в Академгородке, близ Новосибирска.
В зарубежных странах математич. исследования ведутся как в математич. ин-тах, так и в ун-тах (особенно в капиталистич. странах).
Ещё на рубеже 17-18 вв. появились первые математические общества, имеющиеся сейчас во многих странах. Обзорные доклады о мировых достижениях математич. науки и её приложений, а также сообщения о наиболее интересных работах отдельных учёных читаются и обсуждаются на происходящих раз в 4 года (начиная с 1898) международных математических конгрессах. Организация и поощрение между нар. сотрудничества в области М., подготовка научных программ междунар. математич. конгрессов и др. является задачей международного математического союза. Текущие математич. исследования (а также информация о математич. жизни в различных странах) публикуются в математических журналах, общее число к-рых (нач. 70-х гг. 20 в.) более 250.
Лит.: Философия и история математики. Колмогоров А. Н., Математика, в кн.: Большая Советская энциклопедия, 2 изд., т. 26, М., 1954; Математика, её содержание, методы и значение, т. 1-3, М., 1956; Ц е и т е н Г. Г., История математики в древности и в средние века, пер. с франц., 2 изд., М.-Л., 1938; его же, История математики в XVI и XVII веках, пер. с нем., 2 изд., М.- Л., 1938; В а н - д е р-В а р д е н Б. Л., Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона, Греции, пер. с голл., М., 1959; Кольмай Э., История математики в древности, М., 1961; Юткевич А. П., История математики в средние века, М., 1961; В и л е и т н е р Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; его же, Хрестоматия по истории математики, составленная по первоисточникам..., пер. с нем., 2 изд., М.- Л., 1935; Клейн Ф., Лекции о развитии математики в XIX столетии, пер. с нем., ч. 1, М.- Л., 1937; Рыбников К. А., История математики, т. 1-2, М., 1960- 1963; Бурбаки Н., Очерки по истории математики, пер. с франц., М., 1963; Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, т. 1-3, М., 1970- 1972; Cantor M., Vorlesungen liber Geschichte der Mathematik, 3 Aufl., Bd 1 - 4, Lpz., 1907 - 13.
Обзоры и энциклопедии. Виноградов И. М., Математика и научный прогресс, в кн.: Ленин и современная наука, кн. 2, М., 1970; Математика. [Сб. ст.], М.- Л., 1932 (Наука в СССР за 15 лет. 1917 -1932); Математика в СССР за тридцать лет. 1917-1947. Сб. ст., М.- Л. 1948; Математика в СССР за сорок лет. 1917 - 1957. Сб. ст т. 1, М., 1959; W е у 1 Н., A Half-century or mathematics, "American Mathematical Monthly", 1951, v. 58, № 8, p. 523 - 53; Энциклопедия элементарной математики, кн. 1-5, М.- Л., 1951 - 1966; Вебер Г. иВелыптейн И., Энциклопедия элементарной математики, пер. с нем., т. 1 - 3, 2 изд., Одесса, 1911 - 14; Enzyklopadie der mathematischen Wissenschaf-ten, mit Einschluss ihrer Anwendungen, Bd 1-6, Lpz., 1898 - 1934; тоже, 2 Aufl., Bd 1-, Lpz., 1950-; Encyclopedic des siences mathe-matiques pures et appliquees, t. 1 - 7, P.- Lpz., 1904-14; Mathematik, 6 Aufl., Lpz., 1971 (Kleine Enzyklopadie); Mathematisches Worterbuch, 2 Aufl., Bd 1-2, В.- Lpz., 1962.
МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИНСТИТУТ Уральского научного центра АН СССР, советское научно-исследовательское учреждение; находится в г. Свердловске. Основан в 1961 как Свердловское отделение Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР, с 1971 - в составе Уральского науч. центра АН СССР. Осн. направления исследований: развитие математич. теории процессов управления; теоретич. исследования в области алгебры, дифференц. ур-ний и теории функций; разработка и решение задач на ЭВМ; развитие методов нелинейной механики; разработка математич. методов механики сплошной среды. Имеется аспирантура. Н. Н. Красовский.
МАТЕМАТИКИ ИНСТИТУТ Сибирского отделения АН СССР, советское научно-исследовательское учреждение; находится в г. Новосибирске. Основан в 1957. Задачи ин-та - разработка важных проблем математики и методов её приложений. Осн. направления исследований: алгебра и математич. логика, геометрия и топология, теория вероятностей, теория дифференц. ур-ний, теория функций и функциональный анализ, теоретич. физика, математич. экономика и теоретич. кибернетика. Имеется аспирантура. Издаются сб. трудов: "Алгебра и логика" (с 1962), "Оптимальное планирование" (с 1964), "Дискретный анализ" (с 1963). A.M. Ширшов.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ, весьма общий способ математич. доказательств и определений. Индуктивные доказательства основаны на т. н. принципе М. и., являющемся одной из основных математич. аксиом. Пусть, напр., требуется доказать для любого натурального (целого положительного) числа п формулу:
1+3 + 5 + ...+(2и-1) = и2. (1) При п = 1 эта формула даёт 1 = 12. Чтобы доказать правильность формулы при любом п, допускают, что её уже удалось доказать для нек-рого определённого числа N, т. е. предполагают, что
1+3 + 5+....+(2N-1) = №. (2) Далее, опираясь на сделанное допущение, пытаются доказать правильность формулы (1) для числа на единицу большего, т. е. для п = N + 1. В данном случае достаточно присоединить к сумме в левой части равенства (2) ещё одно слагаемое: (2N +1); тогда и правая часть равенства должна увеличиться на (2N + 1) и, следовательно,
1+3 + 5 + ....+(2ЛГ-1) + (2N+1) = = N2+(2N+1) = (N +1)2. Но тот же результат получится, если в формуле (1) заменить п на N + 1. Итак, из справедливости формулы (1) при п - N вытекает (каково бы ни было N) её правильность и при п = N + 1. Но при п = 1 формула (1) верна, следовательно, она верна также и при п = 2 = = 1 + 1, 3 = 2+1, 4 = 3+1, 5 = 4 + 1 и т. д. Так как последовательным прибавлением единицы можно получить (начиная с единицы) любое натуральное число, то формула (1) действительно верна при любом натуральном числе п. Как ни очевидна заключительная часть приведённого рассуждения, она опирается на нек-рую аксиому, не сводимую только к общим законам логики, но выражающую одно из основных свойств натуральных чисел. Общая формулировка этой аксиомы такова.
Принцип М. и. Пусть: 1) число единица обладает свойством А; 2) из того, что к.-л. натуральное число и обладает свойством А, вытекает, что и число п + 1 обладает свойством А. При таких условиях любое натуральное число обладает свойством А.
В разобранном выше примере свойство А числа п выражается так: "для числа п справедливо равенство (1)". Если принцип М. и. принят в качестве аксиомы, то каждое отд. доказательство, опирающееся на этот принцип, следует рассматривать как чисто дедуктивное. При доказательстве [напр., формулы (1)], основанном на этом принципе, не происходит заключения от частного к общему, т. к. одна из посылок (сам принцип М. и.) по меньшей мере столь же обща, как и заключение.
Принцип М. и., сформулированный выше, служит, как было показано, для доказательства математич. теорем. Помимо этого, в математике употребляются ещё т. н. индуктивные определения. Таково, напр., следующее определение членов ип геометрич. прогрессии с первым членом а и знаменателем q: 1) u1 = a, 2) un+1=unq.
Условия 1) и 2) однозначно определяют члены прогрессии ип для всех натуральных чисел п. Доказательство того, что это действительно так, может быть основано на принципе М. и.; в данном случае можно, однако, непосредственно получить выражение ипчерез п : ип = aqn-1.
Принцип М. и. можно заменить равносильными ему предложениями, напр, таким: если подмножество М множества всех натуральных чисел N содержит 1 и вместе с любым своим элементом т содержит и т+1, то М = N.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КАРТОГРАФИЯ, картографическая дисциплина, изучающая теорию картографических проекций, преобразований их, методы изыскания проекций и способы рационального применения их на практике. Иногда в М. к. включают весь комплекс вопросов, относящихся к математич. обоснованию карт (компоновка карт, расчёт рамок и др.), а также способы и средства измерений на картах (см. Картометрия). М. к. тесно связана с математикой, геодезией, со всеми картографич. и др. дисциплинами. На первых этапах (6 в. до н. э. - 17 в. н. э.) развития М. к. изобретались, исследовались и использовались отд. картографич. проекции, затем (18 в.- нач. 20 в.) изучались также отд. классы проекций и др. совокупности их.
С сер. 20 в. успешно развивается теория создания новых методов получения различных (зачастую новых) классов или групп проекций, а также теория преобразований их. Методы совр. М. к. механизируются и автоматизируются, в частности используются ЭВМ для различных целей.
В М. к. различают прямую и обратную задачи. Прямая задача М. к. - исследование свойств картографич. проекций, заданных уравнениями вида x = f1(Ф,Л), у = f2(ф,Л), (1) где ф и Л - широта и долгота точки на земном эллипсоиде. Эта задача решается формулами теории искажений. Обратная задачам, к. имеет целью восстановление уравнений (1), или, более обще, нахождение проекций по заданным в них распределениям искажений. В процессе историч. развития М. к. использовались различные методы построения проекций: геометрич., аналитич., графоаналитич. и др., применимые, однако, к получению отд. проекций или довольно узких совокупностей их. Общий метод изыскания проекций, дающих в то же время решение обратной задачи М. к., следует из системы Эйлера - Урмаева
[1533-1.jpg]
где т и п - масштабы по меридианам и параллелям, е - угол между их изображениями, 7 - сближение меридианов. Это - система двух квазилинейных уравнений с частными производными 1-го порядка (напр., nф=dn/dф и т. п.). Она недоопределённая: уравнений - два, функций - четыре. Различные способы доопределения системы (2), выполняемые на основе априорного задания, нужного для практики размещения искажений, позволяют исследовать всевозможные классы проекций. С точки зрения анализа система (2) даёт необходимые и достаточные условия существования проекций с заданными в них распределениями искажений. Систему (2), формулы теории искажений и нек-рые их модификации относят к основным уравнениям М. к. При изысканиях новых проекций широко применяют методы численного анализа, теорию конформных и квазиконформных отображений, вариационное исчисление и др.
Система (2) приводит к генетической классификации кар-тографич. проекций, являющейся наиболее полной из всех классификаций и объемлющей известные и все мыслимые проекции. В её основе лежит понятие класса проекций как такой совокупности их, к-рая [после доопределения системы (2) уравнениями проекций в характеристиках] описывается определённой системой двух дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка; напр., класс конформных проекций, класс проекций Эйлера и др. Системы классов проекций могут быть эллиптич., гиперболич. и др. типов, в соответствии с чем и проекции, ими описываемые, относятся к указанным типам, что имеет фундаментальное значение при изыскании проекций конкретных классов, проявляющееся в априорном предсказании нек-рых свойств новых проекций. Таким образом, М. к.- это своеобразный "арсенал" картографич. науки и картогра-фич. производства, в спец. "рубриках" к-рого находятся определённые |
