| . Т. о., первым шагом было выделение объектов изучения. Вторым шагом явилось определение закономерностей их движений. (Вообще определения объектов и их взаимосвязей являются исходными положениями - "аксиомами" - гипотетической модели.) Модели Солнечной системы в процессе своего развития прошли через ряд последовательных усовершенствований. Первой была модель Птолемея (2 в. н. э.), исходившая из положения, что планеты и Солнце совершают движения вокруг Земли (геоцентрическая модель), и описывавшая эти движения с помощью правил (формул), многократно усложнявшихся по накоплении наблюдений.
Развитие мореплавания поставило перед астрономией новые требования к точности наблюдений. Н. Коперником в 1543 была предложена принципиально новая основа законов движения планет, полагавшая, что планеты вращаются вокруг Солнца по окружностям (гелиоцентрическая система). Это была качественно новая (но не математич.) модель Солнечной системы. Однако не существовало параметров системы (радиусов окружностей и угловых скоростей движения), приводящих количеств, выводы теории в должное соответствие с наблюдениями, так что Коперник был вынужден вводить поправки в движения планет по окружностям (эпициклы).
Следующим шагом в развитии модели Солнечной системы были исследования И. Кеплера (нач. 17 в.), к-рый сформулировал законы движения планет. Положения Коперника и Кеплера давали кинематич. описание движения каждой планеты обособленно, не затрагивая ещё причин, обусловливающих эти движения.
Принципиально новым шагом были работы И. Ньютона, предложившего во 2-й пол. 17 в. динамич. модель Солнечной системы, основанную на законе всемирного тяготения. Динамич. модель согласуется с кинематич. моделью, предложенной Кеплером, т. к. из динамич. системы двух тел "Солнце - планета" следуют законы Кеплера.
К 40-м гг. 19 в. выводы динамич. модели, объектами к-рой были видимые планеты, вошли в противоречие с накопленными к тому времени наблюдениями. Именно, наблюдаемое движение Урана уклонялось от теоретически вычисляемого движения. У. Леверъе в 1846 расширил систему наблюдаемых планет новой гипотетич. планетой, названной им Нептуном, и, пользуясь новой моделью Солнечной системы, определил массу и закон движения новой планеты так, что в новой системе противоречие в движении Урана было снято. Планета Нептун была открыта в месте, указанном Леверье. Аналогичным методом, используя расхождения в теоретич. и наблюдаемой траектории Нептуна, в 1930 была открыта планета Плутон.
Метод математич. моделирования, сводящий исследование явлений внеш. мира к математич. задачам, занимает ведущее место среди др. методов исследования, особенно в связи с появлением ЭВМ. Он позволяет проектировать новые технич. средства, работающие в оптимальных режимах, для решения сложных задач науки и техники; проектировать новые явления. М. м. проявили себя как важное средство управления. Они применяются в самых различных областях знания, стали необходимым аппаратом в области экономического планирования и являются важным элементом автоматизированных систем управления. А. Н. Тихонов.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, раздел математики, посвящённый математич. методам систематизации, обработки и использования статистических данных для науч. и практич. выводов. При этом статистич. данными наз. сведения о числе объектов в к.-л. более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками (таковы, например, данные табл. 1а и 2а).
Предмет и метод математической статистики. Статистич. описание совокупности объектов занимает промежуточное положение между индивидуальным описанием каждого из объектов совокупности, с одной стороны, и описанием совокупности по её общим свойствам, совсем не требующим её расчленения на отд. объекты,- с другой. По сравнению с первым способом статистич. данные всегда в большей или меньшей степени обезличены и имеют лишь ограниченную ценность в случаях, когда существенны именно индивидуальные данные (напр., учитель, знакомясь с классом, получит лишь весьма предварительную ориентировку о положении дела из одной статистики числа выставленных его предшественником отличных, хороших, удовлетворительных и неудовлетворит. оценок). С другой стороны, по сравнению с данными о наблюдаемых извне суммарных свойствах совокупности статистич. данные позволяют глубже проникнуть в существо дела. Напр., данные грану ломет-рич. анализа породы (т. е. данные о распределении образующих породу частиц по размерам) дают ценную дополнит, информацию по сравнению с испытанием нерасчленённых образцов породы, позволяя в нек-рой мере объяснить свойства породы, условия её образования и пр.
Метод исследования, опирающийся на рассмотрение статистич. данных о тех или иных совокупностях объектов, наз. статистическим. Статистич. метод применяется в самых различных областях знания. Однако черты статистич. метода в применении к объектам различной природы столь своеобразны, что было бы бессмысленно объединять, напр., социально-экономич. статистику, физич. статистику (см. Статистическая физика), звёздную статистику и т. п. в одну науку.
Общие черты статистич. метода в различных областях знания сводятся к подсчёту числа объектов, входящих в те или иные группы, рассмотрению распределения количеств, признаков, применению выборочного метода (в случаях,когда детальное исследование всех объектов обширной совокупности затруднительно), использованию теории вероятностей при оценке достаточности числа наблюдений для тех или иных выводов и т. п. Эта формальная математическая сторона статистич. методов исследования, безразличная к специфич. природе изучаемых объектов, и составляет предмет М. с.
Связь математической статистики с тeoрией вероятностей. Связь М. с. с теорией вероятностей имеет в разных случаях различный характер. Вероятностей теория изучает не любые явления, а явления случайные и именно -"вероятностно случайные", т. е. такие, для к-рых имеет смысл говорить о соответствующих им распределениях вероятностей. Тем не менее теория вероятностей играет определённую роль и при статистич. изучении массовых явлений любой природы, к-рые могут не относиться к категории вероятностно случайных. Это осуществляется через основанные на теории вероятностей теорию выборочного метода и теорию ошибок измерений (см. Ошибок теория). В этих случаях вероятностным закономерностям подчинены не сами изучаемые явления, а приёмы их исследования.
Табл. 1 а. - Распределение диаметра детали в мм, обнаруженное при статистическом исследовании массовой _ продукции (объяснение обозначений х, S, s см. на стр. 482).
Диаметр
Основная выборка
1-я выборка
2-я выборка
3-я выборка
13,05-13,09
_
_
1
1
13,10-13,14
2
-
13,15-13,19
1
-
1
1
13,20-13,24
8
-
-
13,25-13,29
17
1
2
1
13,30-13,34
27
1
1
2
13,35-13,39
30
2
3
1
13,40-13,44
37
2
1
1
13,45-13,49
27
1
-
-
13,50-13,54
25
2
1
-
13,55-13,59
17
--
--
13,60-13,64
7
1
--
2
13,65-13,69
2
-
-
1
Всего
200
10
10
10
X
13,416
13,430
13,315
13,385
S2
2,3910
0,0990
0,1472
0,3602
s
0,110
0,105
0,128
0,200
Табл. 16. - Распределение диаметра детали основной выборки (из табл. 1а) при более крупных интервалах группировки
Диаметр
Число деталей
13,00-13,24
11
13,25-13,49
138
13,50-13,74
51
Всего
200
Более важную роль играет теория вероятностей при статистич. исследовании вероятностных явлений. Здесь в полной мере находят применение такие основанные на теории вероятностей разделы М. с., как теория статистич. проверки вероятностных гипотез, теория статистич. оценки распределений вероятностей и входящих в них параметров и т. д. Область же применения этих более глубоких статистич. методов значительно уже, т. к. здесь требуется, чтобы сами изучаемые явления были подчинены достаточно определённым вероятностным закономерностям. Напр., статистич. изучение режима турбулентных водных потоков или флюктуации в радиоприёмных устройствах производится на основе теории стационарных случайных процессов. Однако применение той же теории к анализу экономических временных рядов может привести к грубым ошибкам ввиду того, что входящее в определение стационарного процесса допущение наличия сохраняющихся в течение длительного времени неизменных распределений вероятностей в этом случае, как правило, совершенно неприемлемо.
Вероятностные закономерности получают статистич. выражение (вероятности осуществляются приближённо в виде частот, а математические ожидания - в виде средних) в силу больших чисел закона.
Простейшие приёмы статистического описания. Изучаемая совокупность из п объектов может по к.-л. качественному признаку А разбиваться на классы A1, А2, ..., Аr. Соответствующее этому разбиению статистическое распределение задаётся при помощи указания численностей (частот) n1, пг, ..., nr .
Напр., в первом столбце табл. 1а даны результаты измерения 200 диаметров деталей, группированные по интервалам дл. 0,05 мм. Основная выборка соответствует нормальному ходу технологич. процесса. 1-я, 2-я и 3-я выборки сделаны через нек-рые промежутки времени для проверки устойчивости этого нормального хода производства. В табл. 16 результаты измерения деталей основной выборки даны при группировке по интервалам дл. 0,25 мм.
Обычно группировка по 10-20 интервалам, в каждый из к-рых попадает не более 15-20% значений xt, оказывается достаточной для довольно полного выявления всех существенных свойств распределения и надёжного вычисления по групповым численностям основных характеристик распределения (см. о них ниже). Составленная по таким группированным данным гистограмма наглядно изображает распределение. Гистограмма, составленная на основе группировки с маленькими интервалами, обычно многовершинная и не отражает наглядно существенных свойств распределения.
В качестве примера на рис. 1 дана гистограмма распределения 200 диаметров, соответствующая данным первого столбца табл. 1а, а на рис. 3 - гистограмма того же распределения (соответствующая таблица не приводится ввиду её громоздкости) при интервале 0,01 мм. С другой стороны, группировка по слишком крупным интервалам может привести к потере ясного представления о характере распределения и к грубым ошибкам при вычислении среднего и других характеристик распределения (см. табл. 16 и соответствующую гистограмму на рис. 2).
Рис. 1. Гистограмма распределения диа-i метров 200 деталей. Длина интервала группировки 0,05 мм.
Рис. 2. Гистограмма распределения диаметров 200 деталей. Длина интервала группировки 0,25 мм.
Рис. 3. Гистограмма распределения диаметров 200 деталей. Длина интервала группировки 0,01 мм.
В пределах М. с. вопрос об интервалах группировки может быть рассмотрен только с формальной стороны: полноты математич. описания распределения, точности вычисления средних по сгруппированным данным и т. д. О группировке, имеющей целью выделить качественно различные группы в изучаемой совокупности, см. Статистические группировки. При изучении совместного распределения двух признаков пользуются таблица |
