| 11652078 12288 3054 948 1й же точности выводов) сокращения числа наблюдений в среднем почти вдвое по сравнению с процедурой выборки фиксированного объёма (см. Последовательный анализ). Развитие методов последовательного анализа привело, с одной стороны, к изучению управляемых случайных процессов, с другой- к появлению общей теории статистических решений. Эта теория исходит из того, что результаты последовательно проводимых наблюдений служат основой принятия нек-рых решений (промежуточных - продолжать испытания или нет, и окончательных - в случае прекращения испытаний). В задачах оценки параметров окончательные решения суть числа (значение оценок), в задачах проверки гипотез - принимаемые гипотезы. Цель теории - указать правила принятия решений, минимизирующих средний риск или убыток (риск зависит и от вероятностных распределений результатов наблюдений, и от принимаемого окончательного решения, и от расходов на проведение испытаний и т. п.).
Вопросы целесообразного распределения усилий при проведении статистического анализа явлений рассматриваются в теории планирования эксперимента, ставшей важной частью совр. М. с.
Наряду с развитием и уточнением общих понятий М. с. развиваются и её отд. разделы, такие, как дисперсионный анализ, статистический анализ случайных процессов, статистический анализ многомерный Появились новые оценки в регрессионном анализе (см. также Стохастическая аппроксимация). Большую роль в задачах М. с. играет т. н. байесовский подход (см. Статистические решения).
Историческая справка. Первые начала М. с. можно найти уже в сочинениях создателей теории вероятностей - Я. Бернулли (кон. 17 - нач. 18 вв.), П. Лапласа (2-я пол. 18 - нач. 19 вв.) и С. Пуассона (1-я пол. 19 в.). В России методы М. с. в применении к демографии и страховому делу развивал на основе теории вероятностей В. Я. Буняковский (1846). Решающее значение для всего дальнейшего развития М. с. имели работы русской классич. школы теории вероятностей 2-й пол. 19 - нач. 20 вв. (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов, С. Н. Бернштейн). Многие вопросы теории статистич. оценок были по существу разработаны на основе теории ошибок и метода наименьших квадратов [К. Гаусс (1-я пол. 19 в.) и А. А. Марков (кон. 19 - нач. 20 вв.)]. Работы А. Кетле (19 в., Бельгия), Ф. Гальтона (19 в., Великобритания) и К. Пирсона (кон. 19 - нач. 20 вв., Великобритания) имели большое значение, но по уровню использования достижений теории вероятностей отставали от работ русской школы. К. Пирсоном была широко развёрнута работа по составлению таблиц функций, необходимых для применения методов М. с. В создании теории малых выборок, общей теории статистич. оценок и проверки гипотез (освобождённой от предположений о наличии априорных распределений), последовательного анализа весьма значительна роль представителей англо-американской школы [Стью-дент (псевд. У. Госсета), Р. Фишер, Э. Пирсон - Великобритания, Ю. Нейман, А. Вальд - США], деятельность к-рых началась в 20-х гг. 20 в. В СССР значительные результаты в области М. с. получены В. И. Романовским, Е. Е. Слуцким, к-рому принадлежат важные работы по статистике связанных стационарных рядов, Н. В. Смирновым, заложившим основы теории непараметрических методов М. с., Ю. В. Линником, обогатившим аналитический аппарат М. с. новыми методами. На основе М. с. особенно интенсивно разрабатываются статистич. методы исследования и контроля массового производства, статистич. методы в области физики, гидрологии, климатологии, звёздной астрономии, биологии, медицины и др.
Существует неск. журналов, публикующих работы по М. с., в том числе ч Annals of Statistics" (до 1973 "Annals of Mathematical Statistics"), "International Statistical Institute Review", "Biometrika", "Journal of the Royal Statistical Society". Имеются науч. ассоциации, поддерживающие исследования по М. с. и её применениям. Важную роль играет Международный статистический институт (ISI) с центром в Амстердаме и созданная при нём Международная ассоциация по статистич. методам в естеств. науках (IASPS).
Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Ван-дер-ВарденБ. Л., Математическая статистика, пер. с нем., М., 1960; Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений, Зизд., М., 1969; Большее Л.Н., СмирновН. В., Таблицы математической статистики, М., 1968; Л и н н и к Ю.В., Метод наименьших квадратов . . ., 2 изд., М., 1962; X а л ь д А., Математическая статистика с техническими приложениями, пер. с англ., М., 1956; Андерсон Т., Введение в многомерный статистический анализ, пер. с англ., М., 1963; К е н-д а л л М. Д ж., С т ь ю а р т А., Теория распределений, пер. с англ., М., 1966. А. Н. Колмогоров, Ю. В. Прохоров.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, теория математических моделей физич. явлений; занимает особое положение и в математике, и в физике, находясь на стыке этих наук.
М. ф. тесно связана с физикой в той части, к-рая касается построения математич. модели, и в то же время - раздел математики, поскольку методы исследования моделей являются математическими. В понятие методов М. ф. включаются те математич. методы, к-рые применяются для построения и изучения математич. моделей, описывающих большие классы физич. явлений. Методы М. ф. как теории математич. моделей физики начали интенсивно разрабатываться в трудах И. Ньютона по созданию основ классич. механики, всемирного тяготения, теории света. Дальнейшее развитие методов М. ф. и их успешное применение к изучению математич. моделей огромного круга различных физич. явлений связаны с именами Ж. Лагранжа, Л. Эйлера, П. Лапласа, Ж. Фурье, К. Гаусса, Б. Римана, М. В. Остроградского и мн. др. учёных. Большой вклад в развитие методов М. ф. внесли А. М. Ляпунов и В. А. Стеклов. Начиная со 2-й пол. 19 в. методы М. ф. успешно применялись для изучения математич. моделей физич. явлений, связанных с различными физич. полями и волновыми функциями в электродинамике, акустике, теории упругости, гидро- и аэродинамике и ряде др. направлений исследования физич. явлений в сплошных средах. Математич. модели этого класса явлений наиболее часто описываются при помощи дифференц. ур-ний с частными производными, получивших назв. уравнений математической физики.Помимо дифференц. ур-ний М. ф., при описании математич. моделей физики применение находят интегральные ур-ния и интегро-дифференц. ур-ния, вариационные и теоретико-вероятностные методы, теория потенциала, методы теории функций комплексного переменного и ряд др. разделов математики. В связи с бурным развитием вычислительной математики особое значение для исследования математич. моделей физики приобретают прямые численные методы, использующие ЭВМ, и в первую очередь конечно-разностные методы решения краевых задач. Теоретич. исследования в области квантовой электродинамики, аксиоматич. теории поля и ряде др. направлений совр. физики привели к созданию нового класса математич. моделей, составивших важную отрасль М. ф. (напр., теория обобщённых функций, теория операторов с непрерывным спектром).
Постановка задач М ф. заключается в построении математич. моделей, описывающих основные закономерности изучаемого класса физич. явлений. Такая постановка состоит в выводе ур-ний (дифференциальных, интегральных, ин-тегро-дифференциальных или алгебраических), к-рым удовлетворяют величины, характеризующие физич. процесс. При этом исходят из основных физич. законов, учитывающих только наиболее существенные черты явления, отвлекаясь от ряда его второстепенных характеристик. Такими законами являются обычно законы сохранения, напр., количества движения, энергии, числа частиц и т. д. Это приводит к тому, что для описания процессов различной физич. природы, но имеющих общие характерные черты, оказываются применимыми одни и те же математич. модели. Напр., математич. задачи для простейшего ур-ния гиперболического типа
[1533-15.jpg]
полученного первоначально (Ж. Д'Аламбер, 1747) для описания свободных колебаний однородной струны, оказываются применимыми и для описания широкого круга волновых процессов акустики, гидродинамики, электродинамики и др. областей физики. Аналогично, уравнение
[1533-16.jpg]
краевые задачи для к-рого первоначально изучались П. Лапласом (кон. 18 в.) в связи с построением теории тяготения (см. Лапласа уравнение), в дальнейшем нашло применение при решении многих проблем электростатики, теории упругости, задач установившегося движения идеальной жидкости и т. д. Каждой математич. модели физики соответствует целый класс физич. процессов.
Для М. ф. характерно также то, что многие общие методы, используемые для решения задач М. ф., развились из частных способов решения конкретных физич. задач и в своём первоначальном виде не имели строгого математич. обоснования и достаточной завершённости. Это относится к таким известным методам решения задач М. ф., как Ритца и Галёркина методы, к методам теории возмущений, преобразований Фурье и мн. др., включая метод разделения переменных. Эффективное применение всех этих методов для решения конкретных задач является одной из причин для их строгого математич. обоснования и обобщения, приводящего в ряде случаев к возникновению новых математич. направлений.
Воздействие М. ф. на различные разделы математики проявляется и в том, что развитие М. ф., отражающее требования естественных наук и запросы практики, влечёт за собой переориентацию направленности исследований в нек-рых уже сложившихся разделах математики. Постановка задач М. ф., связанная с разработкой математич. моделей реальных физич. явлений, привела к изменению основной проблематики теории дифференц. ур-ний с частными производными. Возникла теория краевых задач, позволившая впоследствии связать дифференц. ур-ния с частными производными с интегральными ур-ниями и вариационными методами.
Изучение математич. моделей физики математич. методами не только позволяет получить количеств, характеристики физич. явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реальных процессов, но и даёт возможность глубокого проникновения в самую суть физич. явлений, выявления скрытых закономерностей, предсказания новых эффектов. Стремление к более детальному изучению физич. явлений приводит к всё большему усложнению описывающих эти явления математич. моделей, что, в свою очередь, делает невозможным применение аналитич. методов исследования этих моделей. Это объясняется, в частности, тем, что математич. модели реальных физич. процессов являются, как правило, нелинейными, т. е. описываются нелинейными ур-ниями М. ф. Для детального исследования таких моделей успешно применяются прямые численные методы с использованием ЭВМ. Для типичных задач М. ф. применение численных методов сводится к замене ур-ний М. ф. для функций непрерывного аргумента алгебраич. ур-ниями для сеточных функций, заданных на дискретном множестве точек (на сетке). Иными словами, вместо непрерывной модели среды вводится её дискретный аналог. Применение численных методов в ряде случаев позволяет заменить сложный, трудоёмкий и дорогостоящий физич. эксперимент значительно более экономичным математич. (численным) экспериментом. Достаточно полно проведённый математич. численный эксперимент является основой для выбора оптимальных условий реального физич. эксперимента, выбора параметров сложных физич. установок, определения условий проявления новых физич. эффектов и т. д. Таким образом численные методы необычайно расширяют область эффективного использования математич. моделей физич. явлений.
Математич. модель физич. явления, как всякая модель, не может передать всех черт явления. Установить адекватность принятой модели исследуемому явлению можно только при помощи критерия практики, сопоставляя результаты теоретич. исследований принятой модели с данными экспериментов.
Во многих случаях об адекватности принятой модели можно судить на основании решения обратных задач М. ф., когда о свойствах изучаемых явлений природы, недоступных для непосредственного наблюдения, делаются заключения по результатам их косвенных физич. проявлений.
Для М. ф. характерно стремление строить такие математич. модели, к-рые не только дают описание и объяснение уже установленных физич. за |
