| 11652078 12288 3054 948 1ств. языков и только затем уже, с нек-рыми ограничениями, переносятся на формализованные языки. Отношения между именем, денотатом и концептом, вообще говоря, не однозначны; так, имена-олоиимы имеют несколько различных концептов, а одному и тому же концепту могут соответствовать различные имена-синонимы; неоднозначно и т. н. отношение называния между именем и денотатом (пример, восходящий к Фреге: имена "Утренняя звезда" и "Вечерняя звезда", имеющие общий денотат - планету Венера, но разные концепты). Однако концепт полностью определяет денотат (если, конечно, таковой существует; напр., имя "Пегас" имеет смысл, но не имеет денотата). В отличие от естеств. языков, формализованные языки строятся, как правило, таким образом, чтобы каждое имя имело в точности один смысл; синонимия же, напротив, сохраняется и в большинстве формализованных языков, причём синонимы, по определению, связываются отношением типа равенства (эквивалентности, тождества); устранение синонимии оказывается в ряде случаев принципиально невозможным ввиду отсутствия алгоритма установления тождества произвольных выражений ("слов") в достаточно широком классе формализованных языков.
Основы систематич. построения совр. Л. с. заложены в работах А. Тарского, уделявшего главное внимание анализу и возможностям точного определения понятий "истина", "выполнимость", "определимость", "обозначение" и т. п. Оказалось, что все эти понятия определяются для формализованных языков средствами более богатых языков, играющих для первых ("объектных", или "предметных", языков) роль метаязыков. (Для определения соответствующих понятий для неформализованных языков их следует прежде всего формализовать, после чего придерживаться той же схемы.) Метаязык может быть, в свою очередь, формализован, и для определения его семантич. понятий (истины и др.) приходится подниматься ещё на один метаязыко- вый уровень и т. д. Смешение же языка и метаязыка (на любом уровне) неминуемо приводит к семантическим парадоксам.
Вслед за амер. логиком У. ван О.Куай- ном различают свойства языковых выражений, характеризуемые в терминах произвольных интерпретаций (моделей) данного языка и инвариантные относительно перехода от одной интерпретации к другой, и языковые свойства, определяемые в терминах к.-л. одной интерпретации. Первый круг вопросов относят к теории смысла, второй - к теории референции (теории обозначени я). Понятия смысла (концепта), синонимии, осмысленности, семантич. следования относятся к теории смысла; эта область Л. с. находится по существу в самой начальной стадии развития. Теория референции, оперирующая понятиями истины (истинности), обозначения, именования и т. п., сравнительно богата результатами, из которых следует отметить теорему Тарского о неопределимости предиката истинности любой непротиворечивой языковой системы её собств. средствами. Значение теоремы Тарского, устанавливающей определённую ограниченность выразит, средств формальных языков, во многом аналогично роли знаменитой теоремы К. Гёделя [о принципиальной дедуктивной неполноте (см. Полнота в логике) достаточно богатых логико-математич. исчислений] для метаматематики; сами конструкции доказательств обоих замечат. предложений обнаруживают глубокие аналогии, в совокупности же они дают весьма сильное орудие метаматематич. доказательств (проблемы непротиворечивости, полноты и неполноты и др.).
Следуя традиции, идущей ещё от Г. В. Лейбница, предложения к.-л. языка, истинные во всех его моделях ("во всех возможных мирах"), принято наз. аналитически истинными (соответственно предложения, не истинные ни в одной модели, - аналитически ложными), в отличие от синтетически (или фактически) истинных предложений, истинность к-рых, так сказать, зависит от свойств "данного мира" (иными словами, это предложения, не являющиеся ни аналитически истинными, ни аналитически ложными: они выполняются в нек-рых, но не во всех моделях данного языка). Для полных языков понятие аналитич. истинности, носящее семантич. характер, удаётся описать в чисто синтаксич. терминах - через доказуемость. Для языков же неполных (а именно таковы все языки, представляющие наибольший интеpec для науки) подобного сведения Л.с. к синтаксису непосредственно провести не удаётся.
Идея Лейбница о различении "возможных миров" и "действительного мира" как основы для построения Л. с. развивалась также голл. логиком Э. В. Бегом, англ, логиком А. Н. Прайором, фин. логиком Я. Хинтиккой и особенно амер. логиком С. А. Крипке, который ввёл понятие модельной структуры; модельная структур а-это совокупность множества всех моделей классич. логики высказываний ("все возможные миры"), конкретной модели из этого множества ("действительный мир") и рефлексивного бинарного отношения на множестве моделей, связывающего общезначимость (тождеств, истинность) произвольного предложения в одной модели с возможностью этого же предложения в другие модели. В зависимости от дополнительных свойств такого отношения (симметричность и транзитивность порознь и вместе) моделью "действительного мира" оказываются различные системы модальной логики. Совр. исследования в области Л. с. привлекают также идеи и представления многозначной логики, аксиоматической теории множеств и абстрактной алгебры.
Идеи, методы и результаты Л. с. находят применение в разнообразных областях прикладной лингвистики и семиотики (автоматич. дешифровка, машинный перевод, автоматич. реферирование), при построении теории семантич. информации, в вопросах эвристич. программирования (см. Эвристика), в исследовании проблем распознавания образов и др. ки- бернетич. вопросов. См. также Семантика.
Лит.: К а р и а п Р., Значение и необходимость, пер. с англ., М., 1959; Ч ё р ч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, введение; Ф и н н В. К., О некоторых семантических понятиях для простых языков, в сб.: Логическая структура научного знания, М., 1965, с. 52-74; F r e g e G., Uber Sinn und Bedeu- tung, "Zeitschrift fur Philosophic und philo- sophische Kritik", 1892, Bd 100, S. 25-50; Tar sky A., Logic, semantics, metamathe- tnatics, Oxf., 1956; Q u i n e W. V. O., From a logical point of view, Camb. (Mass.), 1953; К e m e n у J. G., A new approach to semantics, "Journal of Symbolic Logic", 1956, v. 21, Mb 1, p. 1-27, № 2, p. 149-61; Martin R. M., Truth and denotation, L., 1958; Rogers R., A survey of formal semantics, "Synthese", 1963, v. 15, № 1. Ю. А. Гастев, В. К. Финн.
ЛОГИЧЕСКИЕ ДИАГРАММЫ, графический (геометрический, точнее - топологический) аппарат математической логики. Идея Л. д. была известна ещё в ср. века, развивалась затем Г. В. Лейбницем, но впервые достаточно подробно и обоснованно была изложена Л. Эйлером в "Письмах ... к немецкой принцессе" (1768) - т. н. круги Эйлера. Отношения между классами (объёмами понятий) с тех пор принято изображать с помощью систем взаимно пересекающихся кругов (или любых других одно- связных областей); объединению классов соответствует при этом объединение (теоретико-множественное, см. Множеств теория) изображающих их областей, пересечению - пересечение, дополнению (до универсального класса) - дополнение до нек-рой "стандартной" объемлющей области (напр., прямоугольника). Отношению включения между изображаемыми классами при этом соответствует одноимённое отношение между их изображениями (причём случаи, когда объемлющий класс совпадает с объемле- мым и когда он существенно шире последнего, здесь не различаются). В дальнейшем идея Л. д. была развита и усовершенствована; особенно отчётливый вид она приобрела в работах Дж. Венна. (Оригинальный метод построения Л. д. был предложен также англ, математиком Ч. Доджсоном, известным как детский писатель под псевдонимом Л. Кэрролл). Аппарат диаграмм Венна основан на центральной для алгебры логики идее разложения логич. функций на "конституэнты"; он позволяет решать единообразным методом ряд задач логики высказываний и логики одноместных предикатов (см. Логика предикатов): обзор следствий из данных посылок, решение логич. уравнений (при любом конечном числе переменных) и др., вплоть до простого и изящного решения разрешения проблемы. Аппарат Л. д. распространён и на классич. исчисление многоместных предикатов, а также оказывается весьма удобным средством для решения ряда задач из приложений математич. логики к теории автоматов.
Лит.: Кутюра Л., Алгебра логики, пер. с франц., Одесса, 1909; К у з и- чев А. С., Диаграммы Венна. История и применения. М., 1968 (см. лит.); V е n n J., Symbolic logic, 2 ed., L.- N. Y., 1894. Ю. А. Гостев.
ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ, л о г и- ческие связки, логические операторы, функции, преобразующие высказывания или пропозициональные формы (т. е. выражения логики предикатов, содержащие переменные и обращающиеся в высказывания при замене последних к.-л. конкретными их значениями) в высказывания или пропозициональные формы. Л. о. можно разделить на две осн. группы: кванторы и пропозициональные (сентенциональные) связки. Кванторы играют для формализованных языков матем. логики ту же роль, к-рую играют для естественного языка т. н. "количественные" ("кванторные") слова: "все", "любой", "некоторый", "существует", "единственный", "не более (менее) чем", количественные числительные и т. п. Характерной особенностью кванторов является - в случае нефиктивного их применения - понижение числа свободных переменных в преобразуемом выражении: применение квантора к выражению, содержащему n свободных переменных, приводит, вообще говоря, к выражению, содержащему n - 1 свободную переменную, в частности, пропозициональную форму с одной свободной переменной применение квантора (по этой переменной) преобразует в высказывание.
Пропозициональные связки (в отличие от кванторов, введение к-рых знаменует переход к логике предикатов) употребляются уже в самой элементарной части логики - в логике высказываний. В формализованных логич. и логико-матем. языках они выполняют функции, вполне аналогичные функциям союзов и союзных слов, употребляемых для образования сложных предложений в естественных языках. Так, отрицание п истолковывается как частица "не", конъюнкция & истолковывается как союз "и", дизъюнкция V - как (неразделительное) "или", импликация г> - как оборот "если..., то...", эквиваленция ~ - как оборот "тогда и только тогда, когда" и т. п. При этом, однако, соответствие между Л. о. и средствами естественного языка отнюдь не взаимно однозначно. Во-первых, потому, что высказывания, по определению, могут принимать лишь два "истинностных значения": "истину" ("и") и "ложь" ("л"), так что пропозициональные Л. о. можно рассматривать как различные функции, отображающие нек-рую область из двух элементов в себя; поэтому число различных га- местных (т. е. от n аргументов) Л. о. определяется из чисто комбинаторных соображений - оно равно 2". Во-вторых, в формализованных языках матем. логики игнорируются любые смысловые (и тем более стилистические) оттенки значений союзов, кроме тех, что непосредственно опредачяют истинностное значение получающегося сложного предложения. В свою очередь, в качестве Л. о. рассматриваются подчас и такие связки, содержательные аналоги к-рых в обычном языке, как правило, не имеют специальных наименований; таков, напр., "штрих Шеффера" в нижеследующей таблице, где приведён полный перечень всех 222 = 16 двуместных пропозициональных Л. о. (в первых двух столбцах помещены истинностные значения нек-рых "исходных" высказываний р и .7, в остальных - значения высказываний, образуемых из них посредством указанных сверху Л. о.).
Поскольку в табл. сведены все мыслимые двуместные Л. о., соответствующие всевозможным "четырёхбуквенным словам" из "и" и "л", записанным по вертикали в её столбцах, то естественно, что среди этих 17 Л. о. есть и "вырожденные" случаи: первые две "связки" вообще не зависят ни от каких "аргументов" - это константы "и" и "л" (понятно, что таких "нульместных" связок имеется ровно 22 = 2), далее идут 221 =4 "одноместных связок" (каждая из к-рых зависит лишь от одного из аргументов р или q) и только затем уже 16-2-4 = 10 собственно двуместных Л. о. Можно далее рассматривать 22" = 256 трёхместных Л. о. и т. д.; оказывается, однако, что уже небольшой части приведённых Л. о. достаточно для того, чтобы посредством их с у- |
