| 11652078 12288 3054 948 1ные числа, к-рые приближённо выражают в десятичных дробях. Целую часть десятичного Л. наз. х а- рактеристикой, дробную - мантиссой. Так как lg(10feN) = = k + lg-V, то десятичные Л. чисел, отличающихся множителем 10й, имеют одинаковые мантиссы и различаются лишь характеристиками. Это свойство лежит в основе построения таблиц Л., которые содержат лишь мантиссы Л. целых чисел (см. Логарифмические таблицы).
Большое значение имеют также н а- туральные Л., основанием которых служит трансцендентное число е = 2,71828...; их обозначают InN. Переход от одного основания Л. к другому совершается по формуле log&N = = logaN/logab, множитель l/log.,6 наз. модулем перехода (перевода) от основания а к основанию Ь. Для перехода от натуральных Л. к десятичным или обратно имеем
[1409-6.jpg]
Историческая справка. Открытие Л. было связано в первую очередь с быстрым развитием астрономии в 16 в., уточнением астрономич. наблюдений и усложнением астрономич. выкладок. Авторы первых таблиц Л. исходили из зависимости между свойствами геометрич. прогрессии и составленной из показателей степени её членов арифметич. прогрессии. Эти зависимости, частично подмеченные ещё Архимедом (3 в. до н. э.), были хорошо известны Н. Шюке (1484) и нем. математику М. Штифелю (1544). Первые логарифмич. таблицы были составлены одновременно и независимо друг от друга Дж. Непером (1614, 1619) и швейц. математиком Й.Бюрги(1620). Важный шаг в теоретич. изучении Л. сделал белы, математик Григорий из Сен-Вин- цента (1647), обнаруживший связь Л. и площадей, ограниченных дугой гиперболы, осью абсцисс и соответствующими ординатами. Представление Л. бесконечным степенным рядом дано Н. Мер- катором (1668), нашедшим, что
[1409-7.jpg]
Вскоре затем Дж. Грегори (1668) открыл разложение
[1409-8.jpg]
Этот ряд очень быстро сходится, если М -= N + 1 и N достаточно велико; поэтому он может быть использован для вычисления Л. В развитии теории Л. большое значение имели работы Л. Эйлера. Им установлено понятие о логарифмировании как действии, обратном возведению в степень.
Термин "Л." предложил Дж. Непер; он возник из сочетания греч. слов logos (здесь - отношение) и arithmos (число); в антич. математике квадрат, куб и т.д. отношения а/6 наз. "двойным", "тройным" и т. д. отношением. Т. о., для Непера слова "logu arithmos" означали "число (кратность) отношения", то есть Л. у Дж. Непера - вспомогательное число для измерения отношения двух чисел. Термин "натуральный логарифм" принадлежит Н. Меркатору, "характеристика"- англ, математику Г. Бригсу, "мантисса" в нашем смысле - Л. Эйлеру, "основание" Л. - ему же, понятие о модуле перехода ввёл Н. Меркатор. Совр. определение Л. впервые дано англ, математиком В. Гардинером (1742). Знак Л.- результат сокращения слова "Л."- встречается в различных видах почти одновременно с появлением первых таблиц [напр., Log - у И. Кеплера (1624) и Г. Бригса (1631), log и 1. - Б. Каваль- ери (1632, 1643)].
Лит.: Маркушевич А. И., Площади и логарифмы, М.- Л., 1952; История математики, т. 2, М., 1970.
ЛОГАРИФМИКА, плоская кривая, являющаяся графиком логарифмической функции.
ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ, действие, заключающееся в нахождении логарифма числового, алгебраического или иного выражения. Л.- одно из двух действий, обратных возведению в степень: если
[1409-9.jpg]то [1409-10.jpg] и [1409-11.jpg]
В вычислительной практике Л. употребляется для сведения действий умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня к действиям сложения, вычитания, умножения и деления. Напр., для приближённого вычисления
[1409-12.jpg]
пользуются соотношением
[1409-13.jpg],[1409-14.jpg]
а затем логарифмическими таблицами.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ БУМАГА, специальным образом разграфлённая бумага; обычно изготовляется типографским способом. Она строится следующим образом (рис. 1): на каждой из осей прямоугольной системы координат откладываются десятичные логарифмы чисел и (на оси абсцисс) и v (на оси ординат); затем через найденные точки (и, v) проводятся прямые, параллельные осям. Наряду с Л. б. применяется полулогарифмическая бумага (рис. 2): на одной из осей прямоугольной системы координат откладываются числа и, а на другой - десятичные логарифмы чисел v. Л. б. и полулогарифмич. бумага служат для вычерчивания на них графиков функций, к-рые здесь могут принимать более простую и наглядную форму и в ряде случаев выпрямляются. На Л. б. прямыми линиями изображаются функции, заданные уравнениями вида v - аи , где а и Ь - постоянные коэффициенты, т. к. такие уравнения после логарифмирования и перехода к системе координат x = lg и, у = lg v приводятся к виду:
Аналогично на
[1409-15.jpg]
полулогарифмич. бумаге прямыми линиями изображаются функции, заданные уравнениями вида v =
- ab . Это свойство Л. б. и полулогарифмич. бумаги находит применение при отыскании аналитич. формы эмпирич. зависимостей. Если, напр., ряд точек с координатами и(, f., где и| - значения аргумента и, при к-рых из опыта получены значения Vi функции v, нанесённых на Л. б., с достаточной точностью располагается на прямой, то прямую принимают за график функции v = f (и), к-рую, следовательно, можно записать в виде
[1409-16.jpg]
Для случая полулогарифмич. бумаги зависимость будет иметь вид
[1409-17.jpg]
Коэфф. а и Ъ находятся по чертежу.
Рис. 1. Логарифмическая бумага.
Рис. 2. Полулогарифмическая бумага.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА, счётная линейка, инструмент для несложных вычислений, с помощью к-рого операции над числами (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня и др.) заменяются операциями над логарифмами этих чисел. Л. л. состоит из корпуса, движка и бегунка (из стекла или плексигласа), имеющего визирную линию (рис. 1). На корпусе и движке нанесены осн. шкалы С и D, размеченные так, что положение любого числа X (целого или дробного от 1 до 10) определяется длиной отрезка, равного pig X, отложенного от начала шкалы (р. - масштабный коэфф., т. н. модуль шкалы). Геометрич. сложение (вычитание) отрезков шкал С и D посредством перемещения движка относительно корпуса на Л. л. заменяет операцию умножения (деления) соответствующих чисел. Кроме указанных шкал С и D, на Л. л. наносят шкалы г (R), X2 (А, В), Х3(К), (R)-X2, е*, lg X (L), шкалы значений тригонометрич. функций и др.
Л. л., прообразом к-рой явилась т. н. гантерова линейка (Gunter's line), была изобретена англ, математиком Э. Ганте- ром вскоре после открытия логарифмов и описана им в 1623. Это была логариф- мич. шкала (линейка), на к-рой сложение отрезков производилось с помощью циркуля. В 1630 англ, математик У. Отред заменил циркуль второй линейкой (движком). В дальнейшем усовершенствовались лишь детали: в 1650 была осуществлена идея нанесения шкалы по спирали на цилиндрич. поверхности; в 30-х гг. 19 в. появился прибор, действующий по принципу линейки Гантера, выполненной в виде часов с вращающимся циферблатом (логарифмич. шкала) и подвижной стрелкой,- прообраз совр. круглых Л. л. (рис. 2); в 1850 к Л. л. был добавлен бегунок, что значительно упростило работу с ней; в нач. 20 в. для расчётов с повышенной точностью использовались т. н. счётные вальцы (рис. 3) - вид Л. л., шкалы к-рой нанесены по образующим цилиндрич. вальцов; движком служил полый цилиндр с окнами, прорезанными против осн. шкал; деление движка нанесено по краям этих прорезей. Совр. Л. л. - простой и удобный счётный инструмент; применяется при инженерных и прочих расчётах, когда точность вычислений ограничивается 2-3 знаками (для обычной Л. л. длиной 25 см с ц = 250 мм).
Л. л. с ц = 500-750 мм дают точность 4-5 знаков. Лит.: П а н о в Д. Ю., Счетная линейка, 21 изд., М., 1973.
Рис. 1. Логарифмическая линейка.
Рис. 2. Круглая логарифмическая линейка.
Рис. 3. Счётные вальцы.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ, плоская спиральная кривая (см. Линия).
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, функция, обратная к показательной функции. Л. ф. обозначается [1409-18.jpg] (1)
её значение у, соответствующее значению аргумента х, наз. натуральным логарифмом числа x. В силу определения соотношение (1) равносильно
[1409-19.jpg]
(2) (е - неперово число). Т. к.
[1409-20.jpg]
при любом действительном у, то Л. ф. определена только при х > 0. В более общем смысле Л. ф. наз. функцию где а >0
[1409-21.jpg]
1) - произвольное основание логарифмов. Однако в математич. анализе особое значение имеет функция In х; функция loga х приводится к ней по формуле: гдеМ = 1/1п
[1409-22.jpg]
а. Л. ф.- одна из осн. зле- ментарных функций; её график (рис. 1) носит назв. л о- г а р и ф м и- к и. Осн. свойства Л. ф. вытекают из соответствующих свойств показательной функции и лога р и ф м о в; напр., Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению
[1409-23.jpg]
Для -1 < х S. 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд: Многие
[1409-24.jpg]
интегралы выражаются через Л. ф.; напр.
[1409-25.jpg]
Л. ф. постоянно встречается в математич. анализе и его приложениях.
Л. ф. была хорошо известна математикам 17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф., рассматривалась Дж. Непером (1614). Он представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым (рис. 2). Одна из них (Y) движется равномерно, исходя из
С, а другая (X), начиная движение из А, перемещается со скоростью, пропорциональной её расстоянию до В. Если положить СУ = у, ХВ = х, то, согласно этому определению, dxldy = -kx, откуда
[1409-26.jpg]
Л. ф. на комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определённой при всех значениях аргумента 2 ^ 0, и обозначается Ln z. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как [1409-27.jpg]
где arg г - аргумент комплексного числа z, носит назв. главного значения Л. ф. Имеем [1409-28.jpg]
Все значения Л. ф. для отрицательных действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория Л. ф. в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (1749), к-рый исходил из определения
[1409-29.jpg]
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ, таблицы логарифмов чисел; применяются для упрощения вычислений. Наиболее распространены таблицы десятичных логарифмов. Т. к. десятичные логарифмы чисел N и WN (при k целом) различаются только характеристиками и имеют одинаковые мантиссы (lg 10*N = k + + lg N), то в таблицах десятичных логарифмов приводятся только мантиссы логарифмов целых чисел. Для отыскания характеристики служат правила: 1) характеристика числа, большего 1, на единицу меньше числа цифр в целой части этого числа (так, lg 20 000 = 4,30103) и 2) характеристика десятичной дроби, меньшей 1, равна взятому со знаком минус числу нулей, предшествующих первой в дроби цифре, отличной от нуля (так, lg 0,0002 = 4~,30103, т.о., десятичные логарифмы дробей записываются в виде суммы положительной мантиссы и отрицательной характеристики).
Существуют таблицы десятичных логарифмов с различным числом знаков мантисс. Наиболее распространены 4-знач- ные и 5-значные таблицы. Иногда употребляют 7-значные таблицы, а в редких случаях - таблицы, позволяющие без большого труда вычислять логарифмы с большим числом знаков. В Л.т. часто приводятся таблицы антилогарифмов - чисел, логарифмы которых суть данные числа, и таблицы т. н. г а- уссовых логарифмов, служащих для определения логарифмов суммы или разности двух чисел по известным логарифмам этих чисел (без промежуточного нахождения самих чисел). Кроме логарифмов чисел, Л. т. содержат обычно логарифмы тригонометрич. величин.
Первые Л. т. были составлены независимо друг от друга Дж. Непером и швейц. математиком И. Бюрги. Таблицы Непера "Описание удивительной таблицы логарифмов" (1614) и "Устройство удивительной таблицы логарифмов" (1619) содержали 8-значные логарифмы синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0° до 90°, следующих через одну минуту. Т. к. синус 90° тогда принимали равным 107, а на него часто приходилось умножать, то Непер определил свои Л. так, что логарифм 107 был равен нулю. |
